ガウス・ボネの定理

内容

区分的に滑らかな境界 $\partial M$ をもつ任意のコンパクト二次元リーマン多様体 $M$ について、ガウス曲率を $K$、$\partial M$ に沿う測地線曲率を $k_g$、各頂点での外角（回転角）を $\theta_i$、オイラー標数を $\chi(M)$ とすると、$\int_M K\,dA + \int_{\partial M} k_g\,ds + \sum_i \theta_i = 2\pi\chi(M)$ が成り立つ。とくに $M$ が境界をもたない閉曲面（$\partial M = \varnothing$）ならば、$\int_M K\,dA = 2\pi\chi(M)$ である。

なぜ正しいのか?

曲面 $M$ 上の測地三角形 $\triangle$ の内角の和は、その内部でのガウス曲率の積分 $\int_\triangle K\,dA$ の分だけ $\pi$ からずれる。正の曲率（球面のように $K > 0$）は三角形を膨らませて内角の和を $\pi$ より大きくし、負の曲率（$K < 0$）は三角形をすぼめて $\pi$ より小さくする。閉曲面 $M$ 全体を三角形分割してすべての三角形の角過剰を足し合わせると、各頂点の周りの角の和は $2\pi$ となって局所的な計量の詳細は完全に相殺し、$2\pi(V - E + F) = 2\pi\chi(M)$ だけが残る。そのため曲面をどうへこませたり引き伸ばしたりしても、全曲率 $\int_M K\,dA$ は位相的なオイラー標数 $\chi(M)$ に固定される。

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