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定理証明済み

ロルの定理

内容

f:[a,b]→Rf:[a,b]\to\mathbb{R} が [a,b][a,b] 上で連続、(a,b)(a,b) 上で微分可能で、f(a)=f(b)f(a)=f(b) ならば、f′(c)=0f'(c)=0 を満たす c∈(a,b)c\in(a,b) が存在する。

なぜ正しいのか?

もとの高さにちょうど戻る滑らかな経路は、その途中のどこかで傾き0の瞬間を必ず持つ——山や谷の頂点で、上昇から下降へ（あるいはその逆へ）転じる瞬間である。

証明の概略

最大値・最小値の定理により、ff は [a,b][a,b] 上で最大値と最小値をとる。両方とも端点でのみ達成される場合、f(a)=f(b)f(a)=f(b) であるから ff は [a,b][a,b] 上で定数であり、任意の c∈(a,b)c\in(a,b) について f′(c)=0f'(c)=0 となる。そうでなければ、ある極値が内部の点 c∈(a,b)c\in(a,b) で達成される；そこで ff は微分可能なので、両側から近づく片側差分商は一致しなければならず、それぞれ ≥0\ge 0 と ≤0\le 0（最小値の場合は逆）となるため、f′(c)=0f'(c)=0 が強制される。

この定理を使うトピック

導関数の応用

関連する定理

平均値の定理（ラグランジュ）最大値・最小値の定理

ステップごとの証明

この定理のステップごとの証明はまだありません。

参考文献

  1. Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach (2011). A History of Mathematics
  2. James Stewart (2015). Calculus