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定理証明済み

平均値の定理（ラグランジュ）

内容

f:[a,b]→Rf:[a,b]\to\mathbb{R} が [a,b][a,b] 上で連続、(a,b)(a,b) 上で微分可能ならば、f′(c)=f(b)−f(a)b−af'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} を満たす c∈(a,b)c\in(a,b) が存在する。

なぜ正しいのか?

車での移動中、ある瞬間には必ず、スピードメーターの読み（瞬間速度）が旅全体の平均速度に一致する——旅の間ずっと平均より速いままでいることも、ずっと遅いままでいることもできない。

証明の概略

補助関数 g(x)=f(x)−f(a)−f(b)−f(a)b−a(x−a)g(x) = f(x) - f(a) - \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) を考える。これは ff と、(a,f(a))(a,f(a)) と (b,f(b))(b,f(b)) を結ぶ割線との垂直方向の差を表す。このとき gg は [a,b][a,b] 上で連続、(a,b)(a,b) 上で微分可能であり、g(a)=g(b)=0g(a)=g(b)=0 となるので、ロルの定理により g′(c)=0g'(c)=0 を満たす c∈(a,b)c\in(a,b) が存在し、すなわち f′(c)=f(b)−f(a)b−af'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} となる。

提示者

1797年に提示ジョゼフ=ルイ・ラグランジュ

この定理を使うトピック

導関数の応用定積分

関連する定理

ロルの定理微分積分学の基本定理ロピタルの定理

ステップごとの証明

この定理のステップごとの証明はまだありません。

参考文献

  1. Joseph-Louis Lagrange (1797). Théorie des fonctions analytiques
  2. James Stewart (2015). Calculus