はさみうちの原理

$\varepsilon>0$ を固定する。$g(x)\to L$、$h(x)\to L$ であるから、$0<|x-a|<\delta$ ならば $|g(x)-L|<\varepsilon$ かつ $|h(x)-L|<\varepsilon$、すなわち $L-\varepsilon<g(x)$ かつ $h(x)<L+\varepsilon$ となる $\delta>0$ が存在する。$g(x)\le f(x)\le h(x)$ と合わせると、そのような $x$ すべてについて $L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon$、すなわち $|f(x)-L|<\varepsilon$ が成り立つ。$\varepsilon$ は任意であったから $f(x)\to L$ である。