テイラーの定理

$x$ を固定し、$g(t)=f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k$ と $h(t)=(x-t)^{n+1}$ を定義する。このとき $g(x)=h(x)=0$ であり、項が打ち消し合って $g'(t)=-\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n$、また $h'(t)=-(n+1)(x-t)^n$ となる。$a$ と $x$ の間の区間で $g,h$ にコーシーの平均値定理を適用すると、$a$ と $x$ の間のある $\xi$ に対して $\frac{g(a)-g(x)}{h(a)-h(x)}=\frac{g'(\xi)}{h'(\xi)}$ が得られ、これはちょうど $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ に簡約される。