チェビシェフの不等式

$A = \{|X - \mu| \ge \varepsilon\}$ と置く。事象 $A$ 上では $(X - \mu)^2 \ge \varepsilon^2$ であるから、標本空間の至るところで各点ごとの不等式 $(X - \mu)^2 \ge \varepsilon^2 \mathbf{1}_A$ が成り立つ。両辺の期待値をとり、単調性と線形性を用いると $\sigma^2 = \mathbb{E}[(X - \mu)^2] \ge \mathbb{E}[\varepsilon^2 \mathbf{1}_A] = \varepsilon^2 \mathbb{P}(A) = \varepsilon^2 \mathbb{P}(|X - \mu| \ge \varepsilon)$ となる。両辺を $\varepsilon^2 > 0$ で割れば $\mathbb{P}(|X - \mu| \ge \varepsilon) \le \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$ が得られる。