环与域

在有限集合上,一个绝不把两个不同输入映到同一输出的映射,由抽屉原理必然取遍每一个可能的输出——包括 $1$。

任取非零元 $a \in D$,考虑由 $L_a(x) = ax$ 定义的左乘映射 $L_a : D \to D$。

首先证明 $L_a$ 是单射。设 $L_a(x) = L_a(y)$,则 $ax = ay$,即 $a(x - y) = 0$。因为 $D$ 是整环且 $a \neq 0$,不存在零因子,故必有 $x - y = 0$,即 $x = y$。

由于 $D$ 是有限集,任何单射 $D \to D$ 自动是满射(由抽屉原理:$|L_a(D)| = |D|$)。特别地,乘法单位元 $1 \in D$ 必在 $L_a$ 的像中,因此存在 $b \in D$ 使得 $L_a(b) = ab = 1$。于是 $b = a^{-1}$,而 $a \neq 0$ 是任意选取的,故 $D$ 是域。

当 $p$ 为素数时,小于 $p$ 的任何非零数都与 $p$ 互素,因此裴蜀恒等式总能构造出模 $p$ 的逆元;当 $p$ 为合数时,它的真因子相乘得 $p \equiv 0$,从而破坏了可逆性。

($\Leftarrow$) 设 $p$ 是素数,任取非零剩余类 $\bar{a} \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$,由满足 $1 \le a \le p - 1$ 的整数 $a$ 代表。由于 $p$ 是素数且 $p \nmid a$,$a$ 与 $p$ 的最大公因数为 $\gcd(a,p) = 1$。

由裴蜀恒等式,存在整数 $u, v \in \mathbb{Z}$ 使得 $au + pv = 1$。两边模 $p$ 约化后消去倍数 $pv$,在 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 中剩下 $\bar{a}\,\bar{u} = \bar{1}$。因此 $\bar{u} = \bar{a}^{-1}$ 就是 $\bar{a}$ 的乘法逆元;由于每个非零元都可逆,$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 是域。

($\Rightarrow$) 反之,设 $p$ 是合数,即存在整数 $1 < b, c < p$ 使得 $p = bc$。因为 $b$ 和 $c$ 严格介于 $0$ 与 $p$ 之间,它们的剩余类 $\bar{b}$ 与 $\bar{c}$ 在 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 中皆非零,但它们的乘积却是 $\bar{b}\,\bar{c} = \overline{bc} = \bar{p} = \bar{0}$。

于是 $\bar{b}$ 是零因子,而任何零因子都不可能有乘法逆元:若 $\bar{b}$ 有逆元 $\bar{b}^{-1}$,在 $\bar{b}\,\bar{c} = \bar{0}$ 左边乘以 $\bar{b}^{-1}$ 就会迫使 $\bar{c} = \bar{0}$,矛盾。故当 $p$ 为合数时,$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 不是域。