Vành và trường

Trên một tập hữu hạn, một ánh xạ không bao giờ biến hai đầu vào khác nhau thành cùng một đầu ra sẽ bị nguyên lý chuồng bồ câu buộc phải quét trúng mọi đầu ra có thể — bao gồm cả $1$.

Lấy $a \in D$ là phần tử khác không bất kỳ, và xét ánh xạ nhân trái $L_a : D \to D$ định nghĩa bởi $L_a(x) = ax$.

Trước hết ta chỉ ra $L_a$ đơn ánh. Giả sử $L_a(x) = L_a(y)$, tức $ax = ay$, hay $a(x - y) = 0$. Vì $D$ là miền nguyên và $a \neq 0$, không có ước của không, điều này buộc $x - y = 0$ và do đó $x = y$.

Vì $D$ là tập hữu hạn, mọi đơn ánh $D \to D$ tự động là toàn ánh (theo nguyên lý chuồng bồ câu: $|L_a(D)| = |D|$). Đặc biệt, đơn vị nhân $1 \in D$ phải nằm trong ảnh của $L_a$, nên tồn tại $b \in D$ sao cho $L_a(b) = ab = 1$. Vậy $b = a^{-1}$, và vì $a \neq 0$ tùy ý nên $D$ là một trường.

Khi $p$ nguyên tố, không có số khác không nào nhỏ hơn $p$ có ước chung với $p$, nên đồng nhất thức Bézout luôn tạo ra được nghịch đảo theo môđun $p$; khi $p$ là hợp số, các thừa số của nó nhân với nhau ra $p \equiv 0$ và phá hủy tính khả nghịch.

($\Leftarrow$) Giả sử $p$ là số nguyên tố, và lấy $\bar{a} \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ là lớp thặng dư khác không bất kỳ, đại diện bởi số nguyên $a$ với $1 \le a \le p - 1$. Vì $p$ nguyên tố và $p \nmid a$, ước chung lớn nhất của $a$ và $p$ là $\gcd(a,p) = 1$.

Theo đồng nhất thức Bézout, tồn tại các số nguyên $u, v \in \mathbb{Z}$ sao cho $au + pv = 1$. Lấy môđun $p$ hai vế làm triệt tiêu bội $pv$, còn lại $\bar{a}\,\bar{u} = \bar{1}$ trong $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Vậy $\bar{u} = \bar{a}^{-1}$ là nghịch đảo nhân của $\bar{a}$, và vì mọi phần tử khác không đều khả nghịch nên $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ là một trường.

($\Rightarrow$) Ngược lại, giả sử $p$ là hợp số, tức $p = bc$ với các số nguyên $1 < b, c < p$. Vì $b$ và $c$ nằm chặt giữa $0$ và $p$, hai lớp thặng dư $\bar{b}$ và $\bar{c}$ đều khác không trong $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, nhưng tích của chúng là $\bar{b}\,\bar{c} = \overline{bc} = \bar{p} = \bar{0}$.

Do đó $\bar{b}$ là một ước của không, và không một ước của không nào có thể có nghịch đảo nhân: nếu $\bar{b}$ có nghịch đảo $\bar{b}^{-1}$, nhân $\bar{b}^{-1}$ vào bên trái đẳng thức $\bar{b}\,\bar{c} = \bar{0}$ sẽ buộc $\bar{c} = \bar{0}$, mâu thuẫn. Vậy $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ không phải là trường khi $p$ là hợp số.