MathLabs

巴塞尔问题

已解决，1735年分析学
问题陈述

正整数平方的倒数之和 ∑n=1∞1n2=112+122+132+⋯\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots 的精确值是多少?人们早已知道这个级数收敛,但近一个世纪都没有人求出它的精确闭式。

欧拉在1735年首次公布了这个结果,他大胆地把 sin⁡x\sin x 的无穷乘积与多项式按根分解相类比,但当时并未严格证明这一步。完全严格的证明直到几十年后才出现,韦尔斯特拉斯的因子分解定理(1876年)证明了将整函数表示为无穷乘积是合理的。

解决者, 1735莱昂哈德·欧拉

欧拉的方法可以推广:他找到了闭式 ζ(2n)=(−1)n+1B2n(2π)2n2(2n)!\zeta(2n) = \frac{(-1)^{n+1} B_{2n} (2\pi)^{2n}}{2(2n)!}(对每个正整数 nn 都成立),其中 B2nB_{2n} 是伯努利数(例如 ζ(4)=π4/90\zeta(4) = \pi^4/90)。对于奇数值 ζ(3),ζ(5),…\zeta(3), \zeta(5), \ldots,尚无类似的闭式;罗歇·阿佩里在1978年证明了 ζ(3)\zeta(3) 是无理数,但它关于 π\pi 的精确值仍然未知。

参考文献

  1. Frits Beukers, Eugenio Calabi, Jan A. C. Kolk (1993). Sums of generalized harmonic series and volumes · DOI:10.1007/s12045-015-0241-0
  2. William Dunham (1999). Euler: The Master of Us All
  3. Martin Aigner, Günter M. Ziegler (2018). Proofs from THE BOOK