巴塞尔问题

正整数平方的倒数之和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots$ 的精确值是多少?人们早已知道这个级数收敛,但近一个世纪都没有人求出它的精确闭式。

欧拉在1735年首次公布了这个结果,他大胆地把 $\sin x$ 的无穷乘积与多项式按根分解相类比,但当时并未严格证明这一步。完全严格的证明直到几十年后才出现,韦尔斯特拉斯的因子分解定理(1876年)证明了将整函数表示为无穷乘积是合理的。