Phỏng đoán Catalan

Nghiệm nguyên duy nhất $x, y, a, b$ với $a, b > 1$ của phương trình $x^a - y^b = 1$ là $x=3, a=2, y=2, b=3$ — tức $3^2 - 2^3 = 1$, do đó 8 và 9 là hai lũy thừa hoàn hảo liên tiếp duy nhất của các số nguyên dương.

Eugène Charles Catalan nêu phỏng đoán trong một bức thư năm 1844 gửi cho tạp chí Crelle, sau khi nhận thấy 8 và 9 dường như là hai lũy thừa hoàn hảo liên tiếp duy nhất trong các số nhỏ. Tiến triển diễn ra chậm: năm 1976, Robert Tijdeman dùng lý thuyết dạng tuyến tính logarit của Baker để chỉ ra rằng, nếu tồn tại nghiệm nào khác ngoài $3^2-2^3=1$, thì cả hai số mũ $a$ và $b$ đều bị chặn bởi một hằng số tường minh (lớn khủng khiếp), quy bài toán về một phép tìm kiếm hữu hạn — nhưng không thể thực hiện được bằng tính toán. Preda Mihăilescu tìm ra lập luận đại số thuần túy cuối cùng năm 2002, sử dụng các tính chất của trường cyclotomic và các cặp Wieferich để chứng minh không còn nghiệm nào khác, mà không cần dựa vào chặn số học khổng lồ của Tijdeman; kết quả nay được gọi là định lý Mihăilescu.