Lời giải: Chứng minh giả thuyết Catalan của Mihăilescu qua các trường chia đường tròn (2002)

Ghi chú năm 1844 của Catalan gửi tạp chí Crelle phỏng đoán rằng $x^u-y^v=1$ với các số nguyên $x,y,u,v>1$ chỉ có nghiệm $3^2-2^3=1$. Giả thuyết được quy về qua hai bước cổ điển. Victor-Amédée Lebesgue (1850) chứng minh $x^u-y^2=1$ không có nghiệm với $u>1$: phân tích $y^2+1=(y+i)(y-i)$ trong các số nguyên Gauss $\mathbb{Z}[i]$, hai nhân tử nguyên tố cùng nhau vì hiệu của chúng chia hết $2i$ trong khi $y$ phải chẵn, buộc mỗi nhân tử là lũy thừa bậc $u$ sai khác đơn vị, và so sánh phần ảo cho mâu thuẫn lùi vô hạn. Ko Chao (1965) giải quyết phương trình đối ngẫu $x^2-y^v=1$ — nghiệm duy nhất là $3^2-2^3=1$ — bằng các lập luận đồng dư quy về những trường hợp Lebesgue và Nagell đã xử lý.

Khi cả hai trường hợp số mũ 2 đã bị loại, toàn bộ giả thuyết tương đương với một khẳng định duy nhất: $x^p-y^q=1$ không có nghiệm nguyên khác không $x,y$ và các số nguyên tố lẻ $p,q$ (Bilu 2004, §1). Phương trình rút gọn này mang một đối xứng chính xác được khai thác xuyên suốt: nếu $(x,y,p,q)$ là nghiệm thì $(-y,-x,q,p)$ cũng là nghiệm, vì $(-y)^q-(-x)^p=1$ khai triển, với $p,q$ lẻ, thành $x^p-y^q=1$.

Đối xứng này không phải trang trí — nó được dùng liên tục. Mọi hệ quả chia hết, đồng dư hay loại trừ chứng minh cho cặp có thứ tự $(p,q)$ áp dụng miễn phí cho $(q,p)$: các hệ thức Cassels ở Bước 1, hai đồng dư Wieferich ở Bước 3 và điều kiện loại trừ $p\not\equiv1\pmod q$ ở Bước 4 đều đi thành cặp đối ngẫu, mỗi cái chứng minh một lần mà dùng hai lần. Lập luận của Mihăilescu (công bố tháng 4/2002, đăng thành 'Primary cyclotomic units and a proof of Catalan's conjecture', J. reine angew. Math. 572 (2004), trình bày lại bởi Bilu, Séminaire Bourbaki 2002–03, Astérisque 294) nhắm trọn vào phương trình đối xứng đã rút gọn này.