Bổ đề cơ bản của chương trình Langlands

Với một nhóm rút gọn $G$ trên một trường $p$-adic (hoặc trường hàm) và nhóm nội soi $H$ gắn với nó, bổ đề cơ bản khẳng định rằng tích phân quỹ đạo của hàm đặc trưng một nhóm con compact cực đại siêu đặc biệt của $G$ bằng, sai khác một thừa số chuyển $\Delta(\gamma,\gamma_H)$ tường minh, tích phân $\kappa$-quỹ đạo tương ứng trên $H$: viết gọn là $O_\gamma(\mathbf{1}_K) = \Delta(\gamma,\gamma_H)\,O_{\gamma_H}^{\kappa}(\mathbf{1}_{K_H})$.

Ngô Bảo Châu chứng minh bổ đề cơ bản cho đại số Lie của mọi nhóm rút gọn bằng cách liên hệ tích phân quỹ đạo với đối đồng điều của thớ Hitchin và thiết lập một định lý giá (support theorem) hình học; các lập luận quy giản chuẩn (Waldspurger; Cluckers–Hales–Loeser) sau đó mở rộng kết quả sang trường hợp nhóm tổng quát.