Lý thuyết biểu diễn

Chỉ riêng đại số tuyến tính đảm bảo một phần bù nào đó cho $W$, nhưng một phần bù tổng quát sẽ không bất biến với $G$. Định lý Maschke chỉ ra ta luôn có thể lấy trung bình một phép chiếu tùy ý trên toàn nhóm để buộc nó giao hoán với tác động của $G$, với cái giá là chia cho $|G|$ — đó chính xác là lý do định lý cần $\operatorname{char}(k) \nmid |G|$, và chính xác là lý do lý thuyết biểu diễn modular (nơi phép chia này không thể thực hiện) hành xử khác biệt đến vậy.

Bước 1 (bắt đầu với một phần bù bất kỳ). Theo đại số tuyến tính thông thường, chọn một phần bù không gian vectơ bất kỳ $U$ cho $W$ trong $V$ (không nhất thiết bất biến với $G$), và gọi $\pi: V \to W$ là phép chiếu tương ứng ($\pi|_W = \mathrm{id}$, $\ker\pi = U$).

Bước 2 (lấy trung bình trên nhóm). Định nghĩa $\bar\pi = \dfrac{1}{|G|}\sum_{g \in G} \rho(g)\, \pi\, \rho(g)^{-1}$. Điều này có nghĩa chính xác vì $\operatorname{char}(k) \nmid |G|$, nên $|G|$ khả nghịch trong $k$.

Bước 3 ($\bar\pi$ vẫn là phép chiếu lên $W$). Với $w \in W$, vì $W$ bất biến với $G$, $\rho(g)^{-1}w \in W$, nên $\pi(\rho(g)^{-1}w) = \rho(g)^{-1}w$, cho $\rho(g)\pi(\rho(g)^{-1}w) = w$ với mỗi số hạng; lấy trung bình $|G|$ bản sao của $w$ này cho $\bar\pi(w) = w$. Với $v \in V$ tổng quát, $\pi(\rho(g)^{-1}v) \in W$ luôn (ảnh của $\pi$), nên $\rho(g)\pi(\rho(g)^{-1}v) \in \rho(g)W = W$ theo tính bất biến, và lấy trung bình vẫn nằm trong $W$; do đó $\bar\pi: V \to W$ là một phép chiếu lên $W$.

Bước 4 ($\bar\pi$ giao hoán với tác động, nên hạt nhân của nó bất biến với $G$). Với bất kỳ $h \in G$, $\rho(h)\bar\pi\rho(h)^{-1} = \dfrac{1}{|G|}\sum_{g} \rho(hg)\pi\rho(hg)^{-1} = \bar\pi$ vì $g \mapsto hg$ chỉ hoán vị tổng; nên $\rho(h)\bar\pi = \bar\pi\rho(h)$. Đặt $W' = \ker\bar\pi$, với $v \in W'$ ta có $\bar\pi(\rho(h)v) = \rho(h)\bar\pi(v) = \rho(h)(0) = 0$, nên $\rho(h)v \in W'$: $W'$ bất biến với $G$, và $V = W \oplus W'$ vì $\bar\pi$ là phép chiếu lên $W$. Lặp lại phép tách này trên $W'$ (số chiều hữu hạn buộc phải dừng) phân tích $V$ thành tổng trực tiếp các biểu diễn bất khả quy.

Bổ đề Schur nói rằng biểu diễn bất khả quy cứng nhắc hết mức có thể: các ánh xạ duy nhất giữa chúng tôn trọng tác động nhóm hoặc là không hoặc khả nghịch, và tự ánh xạ chỉ là các vô hướng. Tính cứng nhắc này chính là điều buộc quan hệ trực giao, đến lượt nó cho một công cụ cực kỳ thực tiễn — một phép thử tích vô hướng trên một bảng số hữu hạn (bảng đặc trưng) cho biết ngay biểu diễn nào bất khả quy và bất kỳ biểu diễn nào phân tích ra sao.

Bước 1 (Bổ đề Schur, hạt nhân và ảnh). Cho $f: V \to W$ tương đương $G$, tức $f(\rho_V(g)v) = \rho_W(g)f(v)$ với mọi $g,v$. Khi đó $\ker f \subseteq V$ là một không gian con bất biến với $G$ (nếu $f(v)=0$ thì $f(\rho_V(g)v) = \rho_W(g)f(v) = 0$), và vì $V$ bất khả quy, $\ker f$ hoặc là $0$ hoặc là toàn bộ $V$.

Bước 2 (kết luận $f=0$ hoặc $f$ đơn ánh, rồi toàn ánh). Nếu $\ker f = V$, thì $f = 0$. Ngược lại $\ker f = 0$, nên $f$ đơn ánh; ảnh $f(V) \subseteq W$ cũng bất biến với $G$ (do tính tương đương), và vì $W$ bất khả quy và $f(V) \ne 0$ (vì $f\ne0$), $f(V) = W$, khiến $f$ song ánh, do đó là một đẳng cấu.

Bước 3 ($V=W$ buộc $f=\lambda I$). Vì $\mathbb{C}$ đóng đại số, $f$ có một trị riêng $\lambda$ với không gian riêng $E_\lambda = \ker(f-\lambda I) \ne 0$. Vì $f$ tương đương $G$, nên $f - \lambda I$ cũng vậy, nên $E_\lambda$ là một không gian con bất biến với $G$ khác không của $V$ bất khả quy, buộc $E_\lambda = V$; do đó $f = \lambda I$.

Bước 4 (tính trực giao từ lấy trung bình). Cố định các cơ sở và cho $f: V_j \to V_i$ là một ánh xạ tuyến tính tùy ý; lập ánh xạ tương đương $\bar f = \dfrac{1}{|G|}\sum_{g} \rho_i(g) f \rho_j(g)^{-1}$ đúng như trong định lý Maschke. Theo Bước 1–3, $\bar f = 0$ nếu $V_i \not\cong V_j$, và $\bar f = \lambda I$ (với $\lambda$ tính được qua vết) nếu $V_i = V_j$. Chọn $f$ là các ma trận đơn vị cơ bản và so sánh các mục ma trận của $\bar f$ ở cả hai vế đẳng thức này, sau khi lấy tổng theo đường chéo để trích vết, cho đúng $\dfrac{1}{|G|}\sum_{g \in G} \chi_i(g)\overline{\chi_j(g)} = \delta_{ij}$.