Bài toán thứ bảy của Hilbert

Đã giải, 1934Số học và Lý thuyết sốHilbert #7

Phát biểu

Nếu $\alpha$ là một số đại số với $\alpha \ne 0, 1$ và $\beta$ là một số đại số vô tỷ, phải chăng mọi giá trị của lũy thừa $\alpha^\beta = \exp(\beta \log \alpha)$ đều nhất thiết là số siêu việt? Một cách tương đương, nếu $\alpha_1, \alpha_2$ là các số đại số khác không mà tỉ số logarit của chúng là vô tỷ $\log \alpha_1 / \log \alpha_2 \notin \mathbb{Q}$ , phải chăng tỉ số đó bắt buộc là siêu việt?

Được Aleksandr Gelfond và Theodor Schneider giải độc lập chỉ cách nhau vài tháng vào năm 1934 (định lý Gelfond–Schneider). Giả sử phản chứng $\alpha^\beta$ là số đại số, cả hai chứng minh đều dùng bổ đề Siegel để dựng một hàm phụ khác không có hệ số nguyên (ở bản của Gelfond là một tổ hợp tuyến tính của $\exp((j + k\beta)z)$ ) triệt tiêu tới cấp cao trên một lưới điểm, rồi đối chiếu chặn trên giải tích từ nguyên lý mô-đun cực đại với chặn dưới đại số $|\mathrm{Norm}(\gamma)| \ge 1$ của một số nguyên đại số khác không $\gamma$ .

Người nêu, 1900David Hilbert

Năm 1966, Alan Baker mở rộng định lý Gelfond–Schneider — vốn khẳng định tính độc lập tuyến tính trên $\overline{\mathbb{Q}}$ của hai logarit — sang các dạng tuyến tính $\beta_1 \log \alpha_1 + \dots + \beta_n \log \alpha_n$ của tùy ý nhiều logarit của số đại số. Các chặn dưới định lượng của Baker đã mang lại cho ông Huy chương Fields năm 1970, cho các chặn hiệu quả lên nghiệm của phương trình Thue, Mordell và phương trình $S$ -đơn vị, đồng thời là công cụ then chốt trong chứng minh năm 2002 của Mihăilescu cho giả thuyết Catalan. Cả định lý Lindemann–Weierstrass lẫn định lý Baker đều sẽ suy ra từ giả thuyết Schanuel, một bài toán mở rộng lớn phát biểu rằng với mọi $z_1, \dots, z_n \in \mathbb{C}$ độc lập tuyến tính trên $\mathbb{Q}$ , trường $\mathbb{Q}(z_1, \dots, z_n, e^{z_1}, \dots, e^{z_n})$ có bậc siêu việt ít nhất bằng $n$ trên $\mathbb{Q}$ .

Tài liệu tham khảo

David Hilbert (1900). Mathematische Probleme
Aleksandr O. Gelfond (1934). Sur le septième problème de Hilbert
Theodor Schneider (1934). Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen I. Transzendenz von Potenzen · DOI:10.1515/crll.1935.172.65
Alan Baker (1975). Transcendental Number Theory

Lịch sử bài toán

1882Ferdinand von Lindemann chứng minh $e^\alpha$ là siêu việt với mọi số đại số khác không $\alpha$ , qua đó thiết lập tính siêu việt của $\pi$ nhờ đẳng thức $e^{i\pi} = -1$ .Ferdinand von Lindemann
1900David Hilbert nêu bài toán thứ bảy tại Đại hội Toán học Quốc tế ở Paris, lấy $2^{\sqrt{2}}$ và $e^\pi = (-1)^{-i}$ làm hai ví dụ tiêu biểu; trong các bài giảng ông nhận xét rằng ông kỳ vọng sẽ thấy giả thuyết Riemann được giải trước cả bài toán này.David Hilbert
1929Aleksandr Gelfond chứng minh trường hợp $\beta = i\sqrt{d}$ là số vô tỷ bậc hai ảo, giải quyết ngay lập tức tính siêu việt của $e^\pi = (-1)^{-i}$ .
1930Rodion Kuzmin mở rộng phương pháp của Gelfond sang số vô tỷ bậc hai thực $\beta = \sqrt{d}$ , chứng minh $2^{\sqrt{2}}$ là số siêu việt.
1934Aleksandr Gelfond và Theodor Schneider độc lập chứng minh định lý tổng quát cho mọi số đại số $\alpha \ne 0, 1$ và mọi số đại số vô tỷ $\beta$ .
1966Alan Baker tổng quát hóa định lý Gelfond–Schneider lên các dạng tuyến tính của tùy ý nhiều logarit của các số đại số, kèm các chặn dưới hiệu quả cho phép tìm chặn tường minh cho phương trình Diophantine.