Bài toán thứ bảy của Hilbert

Nếu $\alpha$ là một số đại số với $\alpha \ne 0, 1$ và $\beta$ là một số đại số vô tỷ, phải chăng mọi giá trị của lũy thừa $\alpha^\beta = \exp(\beta \log \alpha)$ đều nhất thiết là số siêu việt? Một cách tương đương, nếu $\alpha_1, \alpha_2$ là các số đại số khác không mà tỉ số logarit của chúng là vô tỷ $\log \alpha_1 / \log \alpha_2 \notin \mathbb{Q}$, phải chăng tỉ số đó bắt buộc là siêu việt?

Được Aleksandr Gelfond và Theodor Schneider giải độc lập chỉ cách nhau vài tháng vào năm 1934 (định lý Gelfond–Schneider). Giả sử phản chứng $\alpha^\beta$ là số đại số, cả hai chứng minh đều dùng bổ đề Siegel để dựng một hàm phụ khác không có hệ số nguyên (ở bản của Gelfond là một tổ hợp tuyến tính của $\exp((j + k\beta)z)$) triệt tiêu tới cấp cao trên một lưới điểm, rồi đối chiếu chặn trên giải tích từ nguyên lý mô-đun cực đại với chặn dưới đại số $|\mathrm{Norm}(\gamma)| \ge 1$ của một số nguyên đại số khác không $\gamma$.