Lời giải: Chứng minh chặt chẽ có máy tính hỗ trợ của Tucker bằng số học khoảng (1999)

Để chứng thực hỗn loạn chứ không chỉ tính bị chặn, Tucker trang bị cho miền bẫy ở bước trước một trường nón: tại mỗi điểm $x$, một tập con $\mathcal{C}(x)$ của không gian tiếp tuyến gồm các vectơ trong một ngưỡng góc nào đó quanh một hướng giãn nở được chọn. Dùng các chặn khoảng chặt chẽ trên đạo hàm $DP_x$ của ánh xạ hồi quy (được tính cùng với chính ánh xạ, qua phương trình biến phân của dòng chảy), Tucker xác minh hai tính chất trên toàn miền bị bẫy: trường nón bất biến, $DP_x(\mathcal{C}(x)) \subset \mathcal{C}(P(x))$, và giãn nở, $\|DP_x(v)\| \ge \kappa\|v\|$ với một $\kappa>1$ cố định nào đó và mọi $v\in\mathcal{C}(x)$.

Hai tính chất này cùng nhau là định nghĩa hình học của tính hyperbolic kỳ dị, cốt lõi của bản mẫu Guckenheimer–Williams: chúng đảm bảo rằng bất kỳ hai điểm gần nhau nào có vectơ tách biệt bắt đầu trong trường nón phải tách xa nhau với tốc độ mũ dưới các lần áp dụng lặp lại ánh xạ hồi quy, chính xác là sự hình thức hóa toán học của sự phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu. Điều then chốt là, vì cấu trúc điểm yên tại gốc tọa độ khiến trường nón không thể hyperbolic đều theo nghĩa cổ điển (Anosov/Tiên đề A) trên toàn bộ không gian pha, khái niệm hyperbolic kỳ dị yếu hơn nhưng đủ dùng này (do Morales, Pacifico và Pujals) chính là điều bản mẫu Guckenheimer–Williams đòi hỏi và điều mà số học khoảng có khả năng chứng thực chặt chẽ.

Với cả tính bất biến tiến (bước trước) lẫn trường nón giãn nở này được thiết lập, ánh xạ hồi quy được xác minh có đúng cấu trúc tổ hợp và hình học mà mô hình trừu tượng Guckenheimer–Williams đòi hỏi, chuẩn bị cho bước lắp ráp cuối cùng.