Sự tồn tại của tập hút Lorenz

Xét hệ phương trình vi phân thường Lorenz cổ điển trong không gian ba chiều $\dot{x} = \sigma(y - x)$, $\dot{y} = \rho x - y - xz$, $\dot{z} = xy - \beta z$ trên $\mathbb{R}^3$ với bộ tham số chuẩn $\sigma = 10$, $\beta = 8/3$ và $\rho = 28$. Hỏi dòng này có sở hữu một tập hút kỳ lạ hyperbolic kỳ dị bền vững mà động lực học của nó được mô hình hóa về mặt tô pô và thống kê bởi tập hút Lorenz hình học (mang một độ đo vật lý Sinai–Ruelle–Bowen duy nhất) hay không?

Được giải theo chiều khẳng định bởi Warwick Tucker (công bố trên Comptes Rendus de l'Académie des Sciences năm 1999; bài báo đầy đủ xuất bản trên Foundations of Computational Mathematics năm 2002). Vì các quỹ đạo của hệ Lorenz đi qua gần tùy ý điểm cân bằng yên ngựa tại gốc tọa độ $(0,0,0)$—nơi thời gian quay lại phân kỳ—nên phép tích phân số thuần túy không thể loại trừ khả năng tồn tại các quỹ đạo tuần hoàn ổn định. Tucker đã kết hợp lý thuyết dạng chuẩn giải tích trong một hình lập phương nhỏ quanh gốc tọa độ với một bộ giải phương trình vi phân thường dùng số học khoảng chặt chẽ trên một thiết diện ngang Poincaré $\Sigma \subset \{z = 27\}$ được chia thành các hình chữ nhật nhỏ, qua đó chứng minh sự tồn tại của một miền bẫy bất biến tiến và một trường nón bất biến giãn nở đều.