Giả thuyết Poincaré

Đã giải, 2003Tô pôHình họcMillennium

Phát biểu

Mọi đa tạp $3$ chiều đóng, đơn liên đều đồng phôi với mặt cầu $3$ chiều $S^3$ . Một cách tương đương, nếu $M$ là một đa tạp tô pô $3$ chiều compact không biên có nhóm cơ bản $\pi_1(M)$ tầm thường thì $M \cong S^3$ .

Từ tháng 11 năm 2002 đến tháng 7 năm 2003, Grigori Perelman đăng ba bản thảo ngắn gọn lên arXiv (`math/0211159`, `math/0303109`, `math/0307245`), hoàn tất chương trình dòng Ricci của Richard Hamilton bằng cách đưa ra các phiếm hàm entropy đơn điệu, định lý không co cụm địa phương, quy trình phẫu thuật có kiểm soát qua các kỳ dị cổ thắt, và thời gian tắt hữu hạn cho các đa tạp không có nhân tử nguyên tố phi cầu. Công trình này chứng minh trọn vẹn giả thuyết hình học hóa của William Thurston cho đa tạp $3$ chiều đóng và suy ra giả thuyết Poincaré như một trường hợp riêng. Sau khi ba nhóm độc lập (Bruce Kleiner và John Lott; John Morgan và Gang Tian; Huai-Dong Cao và Xi-Ping Zhu) biên soạn các chuyên khảo chi tiết xác nhận chứng minh hoàn chỉnh và chính xác, Perelman được trao Huy chương Fields vào tháng 8 năm 2006 và Giải thưởng Thiên niên kỷ Clay trị giá 1.000.000 đô la Mỹ vào tháng 3 năm 2010 — nhưng ông từ chối cả hai vinh dự, và nói về Giải thưởng Thiên niên kỷ rằng đóng góp của ông cho việc giải quyết giả thuyết không lớn hơn đóng góp của Hamilton.

Người nêu, 1904Henri Poincaré Người giải, 2003Grigori Perelman

Ở ba chiều, các phạm trù tô pô, tuyến tính từng khúc và trơn trùng nhau (theo các định lý của Edwin Moise và Jean Cerf), nên chứng minh trơn của Perelman giải quyết cả ba phiên bản cho $S^3$ . Tuy nhiên, ở số chiều cao hơn, bài toán tô pô và bài toán trơn tách biệt sâu sắc: năm 1956, John Milnor phát hiện các mặt cầu $7$ chiều kỳ dị — những đa tạp trơn đồng phôi nhưng không vi phôi với $S^7$ — và dù giả thuyết Poincaré tô pô đúng với mọi chiều $n \ge 1$ , giả thuyết Poincaré trơn bốn chiều (liệu mọi đa tạp trơn $4$ chiều đồng phôi với $S^4$ có vi phôi với $S^4$ hay không) vẫn là một trong những bài toán mở lớn nhất của tô pô hình học.

Tài liệu tham khảo

Grisha Perelman (2002). The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications · arXiv:math/0211159v1 [preprint, chưa bình duyệt]
Grisha Perelman (2003). Ricci flow with surgery on three-manifolds · arXiv:math/0303109v1 [preprint, chưa bình duyệt]
Grisha Perelman (2003). Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds · arXiv:math/0307245v1 [preprint, chưa bình duyệt]
John Morgan, Gang Tian (2007). Ricci Flow and the Poincaré Conjecture

Lịch sử bài toán

1900Henri Poincaré ban đầu cho rằng mọi đa tạp $3$ chiều đóng có cùng các nhóm đồng điều với $S^3$ đều phải đồng phôi với $S^3$ .Henri Poincaré
1904Trong bài Cinquième complément à l'Analysis situs, Poincaré xây dựng một phản ví dụ cho phát biểu đồng điều trước đó — mặt cầu đồng điều Poincaré, có nhóm cơ bản là nhóm nhị thập diện nhị phân cấp $120$ — rồi đặt ra câu hỏi tinh chỉnh hơn: liệu nhóm cơ bản tầm thường $\pi_1(M) = 1$ có đủ để đặc trưng cho $S^3$ hay không.Henri Poincaré
1961Stephen Smale chứng minh giả thuyết Poincaré tổng quát ở mọi số chiều $n \ge 5$ bằng định lý $h$ -cobordism và lý thuyết Morse, cho thấy ở số chiều cao có đủ không gian để tháo gỡ các quai.
1982Michael Freedman chứng minh giả thuyết Poincaré tô pô ở chiều $4$ bằng quai Casson; cùng năm đó, William Thurston phát biểu giả thuyết hình học hóa cho đa tạp $3$ chiều và Richard Hamilton đưa ra dòng Ricci $\partial_t g_{ij} = -2 R_{ij}$ trên các metric Riemann.
2000Viện Toán học Clay chọn giả thuyết Poincaré làm một trong bảy Bài toán thiên niên kỷ.
2002Tháng 11, Grigori Perelman đăng bản thảo đầu tiên trong ba bản thảo (`math/0211159`) lên arXiv, đưa ra phiếm hàm $\mathcal{W}$ -entropy và độ dài $\mathcal{L}$ cho dòng Ricci đồng thời chứng minh định lý không co cụm địa phương.Grigori Perelman
2003Perelman đăng bản thảo thứ hai và thứ ba (`math/0303109` vào tháng 3 và `math/0307245` vào tháng 7), xây dựng dòng Ricci có phẫu thuật trên đa tạp $3$ chiều và chứng minh thời gian tắt hữu hạn trong trường hợp đơn liên, hoàn tất chứng minh giả thuyết Poincaré và giả thuyết hình học hóa.Grigori Perelman
2006Sau khi các nhóm độc lập kiểm chứng toàn bộ chứng minh, Grigori Perelman được trao Huy chương Fields tại Đại hội Toán học Quốc tế ở Madrid và trở thành nhà toán học đầu tiên từ chối giải thưởng này.Grigori Perelman
2010Viện Toán học Clay chính thức trao Giải thưởng Thiên niên kỷ đầu tiên cho lời giải giả thuyết Poincaré của Perelman, nhưng ông từ chối khoản tiền thưởng 1.000.000 đô la Mỹ.Grigori Perelman

Giải thưởng

Bài toán thiên niên kỷ của Viện Clay, US$1,000,000 — đã trao