虚拟哈肯猜想

每一个具有无限基本群 $\pi_1(M)$ 的紧致、可定向、不可约 $3$ 维流形 $M$ 都是虚拟哈肯（virtually Haken）的：它承认一个有限叶覆盖空间 $\widetilde{M} \to M$ 是哈肯流形（即 $\widetilde{M}$ 包含一个真嵌入的双侧不可压缩亏格至少为 $1$ 的曲面，或一个真嵌入的不可压缩圆盘）。

由伊恩·阿戈尔（Ian Agol）于2012年解决（2013年发表于 Documenta Mathematica，附有伊恩·阿戈尔、丹尼尔·格罗夫斯和杰森·曼宁合著的附录）。在格里戈里·佩雷尔曼证明威廉·瑟斯顿的几何化猜想（2002–2003年）之后，该问题归约为闭双曲 $3$ 维流形的情形。杰里米·卡恩与弗拉基米尔·马尔科维奇（2012年）证明了曲面子群猜想，在 $\pi_1(M)$ 中构造出大量拟凸曲面子群；由贝尔热龙–怀斯判据，这使得 $\pi_1(M)$ 能余紧地作用在 $\operatorname{CAT}(0)$ 立方复形上。阿戈尔证明了每个可立方化的词双曲群都是虚拟特殊（virtually special）的，从而完成了丹尼尔·怀斯与弗雷德里克·哈格伦德开创的纲领，一举解决了虚拟哈肯猜想以及瑟斯顿的虚拟纤维化猜想。