Giả thuyết Haken hầu khắp

Mọi đa tạp $3$ chiều compact, định hướng được, bất khả quy $M$ với nhóm cơ bản $\pi_1(M)$ vô hạn đều là Haken hầu khắp (virtually Haken): nó có một không gian phủ hữu hạn lá $\widetilde{M} \to M$ là đa tạp Haken (tức là $\widetilde{M}$ chứa một mặt không nén được, hai phía, nhúng chính quy có giống ít nhất bằng $1$, hoặc một đĩa không nén được nhúng chính quy).

Được giải bởi Ian Agol năm 2012 (xuất bản trên Documenta Mathematica năm 2013, kèm phụ lục của Ian Agol, Daniel Groves và Jason Manning). Sau khi Grigori Perelman chứng minh Giả thuyết Hình học hóa của William Thurston (2002–2003), bài toán quy về trường hợp các đa tạp $3$ chiều đóng hyperbolic. Jeremy Kahn và Vladimir Markovic (2012) chứng minh Giả thuyết Nhóm con Mặt, cung cấp vô số nhóm con mặt tựa lồi trong $\pi_1(M)$; theo tiêu chuẩn Bergeron–Wise, điều này cho phép $\pi_1(M)$ tác động đối compact lên một phức lập phương $\operatorname{CAT}(0)$. Agol hoàn tất chương trình do Daniel Wise và Frédéric Haglund khởi xướng bằng cách chứng minh mọi nhóm hyperbolic từ có cấu trúc lập phương đều đặc biệt hầu khắp (virtually special), từ đó suy ra cả Giả thuyết Haken hầu khắp lẫn Giả thuyết Phân thớ hầu khắp của Thurston.