Bài toán lớn

Cận đại

1. 1611
   Phỏng đoán KeplerHình học. Cách xếp chồng các quả cầu bằng nhau dày đặc nhất trong không gian chính là kiểu chồng đạn đại bác quen thuộc, với mật độ $\pi/\sqrt{18}$.Hilbert #18THThomas Hales, 1998

Thế kỷ 20

1. 1900
   Bài toán thứ bảy của HilbertSố học và Lý thuyết số. Được chứng minh độc lập năm 1934 bởi Aleksandr Gelfond và Theodor Schneider: bất cứ khi nào $\alpha \ne 0, 1$ là số đại số và $\beta$ là số vô tỷ đại số thì $\alpha^\beta$ là số siêu việt — giải quyết cùng lúc hai ví dụ $2^{\sqrt{2}}$ và $e^\pi = (-1)^{-i}$ của Hilbert.Hilbert #7Đã giải
2. 1900
   Bài toán thứ mười của HilbertNền tảng toán học, Số học và Lý thuyết số. Không có thuật toán nào, nói chung, có thể xác định liệu một phương trình Diophantus có nghiệm nguyên hay không — bài toán thứ mười của Hilbert có câu trả lời phủ định.Hilbert #10YMYuri Matiyasevich, 1970
3. 1900
   Bài toán thứ ba của HilbertHình học. Mọi cặp đa giác có cùng diện tích đều có thể cắt thành hữu hạn mảnh rồi ghép lại thành nhau, nhưng Max Dehn đã chứng minh năm 1900 rằng kết quả tương tự ở 3 chiều là sai: một hình lập phương và một tứ diện đều có cùng thể tích nhưng có bất biến Dehn khác nhau trong $\mathbb{R} \otimes_{\mathbb{Q}} (\mathbb{R}/\pi\mathbb{Q})$ nên không bao giờ cắt-ghép được thành nhau.Hilbert #3Đã giải