Bài toán lớn

Cổ đại

1. 450 TCN
   Chia ba một góc bằng thước kẻ và compaHình học, Đại số. Được Pierre Wantzel chứng minh là bất khả thi trong trường hợp tổng quát vào năm 1837: việc chia ba góc $60^\circ$ đòi hỏi phải dựng được $\cos(20^\circ)$, có đa thức tối tiểu $8x^3 - 6x - 1 = 0$ trên $\mathbb{Q}$ mang bậc $3$, không phải là lũy thừa của $2$.Đã giải
2. 450 TCN
   Cầu phương hình trònHình học, Đại số. Cầu phương hình tròn bằng compa và thước thẳng là bất khả thi, vì $\pi$ là số siêu việt.FLFerdinand von Lindemann, 1882
3. 430 TCN
   Gấp đôi khối lập phươngHình học, Đại số. Được biết đến từ thời cổ đại dưới tên bài toán Delos, việc gấp đôi khối lập phương bằng thước kẻ và compa đã được Pierre Wantzel chứng minh là bất khả thi vào năm 1837 vì $\sqrt[3]{2}$ có bậc đại số $3$ trên $\mathbb{Q}$, không phải là lũy thừa của $2$.Đã giải
4. 300 TCN
   Đa giác đều dựng được bằng thước kẻ và compa (Gauss–Wantzel)Hình học, Đại số. Theo định lý Gauss–Wantzel (1796–1837), đa giác đều $n$ cạnh dựng được bằng thước kẻ và compa khi và chỉ khi $n = 2^k p_1 \cdots p_m$ là tích của một lũy thừa của $2$ với các số nguyên tố Fermat phân biệt $p_i = 2^{2^{r_i}} + 1$.CGCarl Friedrich Gauss, 1837

Cận đại

1. 1611
   Phỏng đoán KeplerHình học. Cách xếp chồng các quả cầu bằng nhau dày đặc nhất trong không gian chính là kiểu chồng đạn đại bác quen thuộc, với mật độ $\pi/\sqrt{18}$.Hilbert #18THThomas Hales, 1998
2. 1637
   Định lý lớn FermatSố học và Lý thuyết số. Không có ba số nguyên dương nào thỏa mãn $x^n + y^n = z^n$ với số mũ nguyên $n > 2$ — được Fermat nêu ra khoảng năm 1637 và được Andrew Wiles chứng minh năm 1994–1995 (cùng Richard Taylor) thông qua tính modular của đường cong elliptic bán ổn định.AWAndrew Wiles, 1994
3. 1650
   Bài toán BaselGiải tích. Tổng $\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^2$ bằng $\pi^2/6$.LELeonhard Euler, 1735

Thế kỷ 18

1. 1736
   Bảy cây cầu ở KönigsbergTổ hợp và Toán rời rạc. Không tồn tại đường đi như vậy: đồ thị tương ứng có bốn đỉnh bậc lẻ.LELeonhard Euler, 1736
2. 1770
   Bất khả giải của phương trình bậc nămĐại số. Khác với công thức bậc hai, bậc ba và bậc bốn, không công thức căn thức nào giải được phương trình bậc năm tổng quát — một sự thật được lý thuyết Galois giải thích đầy đủ.NANiels Henrik Abel, 1824
3. 1770
   Bài toán WaringSố học và Lý thuyết số. Mọi số tự nhiên đều là tổng của $4$ số chính phương, $9$ lập phương, $19$ lũy thừa bậc bốn, v.v.: được Edward Waring dự đoán năm 1770 và được giải quyết năm 1909 khi David Hilbert chứng minh sự tồn tại của cận hữu hạn $g(k)$ cho mọi số mũ $k$.DHDavid Hilbert, 1909

Thế kỷ 19

1. 1844
   Phỏng đoán CatalanSố học và Lý thuyết số. 8 và 9 là hai lũy thừa hoàn hảo liên tiếp duy nhất của các số nguyên dương; Catalan phỏng đoán điều này năm 1844, Mihăilescu chứng minh năm 2002.PMPreda Mihăilescu, 2002
2. 1852
   Định lý bốn màuTổ hợp và Toán rời rạc. Mọi bản đồ phẳng (hay đồ thị phẳng không khuyên $G$) đều có thể tô bằng tối đa $4$ màu ($\chi(G) \le 4$) — do Francis Guthrie đặt ra năm 1852, được Kenneth Appel và Wolfgang Haken chứng minh với sự trợ giúp của máy tính năm 1976, được rút gọn năm 1997, và được Georges Gonthier kiểm chứng hình thức trong Coq năm 2005.KAKenneth Appel, 1976

Thế kỷ 20

1. 1900
   Bài toán thứ bảy của HilbertSố học và Lý thuyết số. Được chứng minh độc lập năm 1934 bởi Aleksandr Gelfond và Theodor Schneider: bất cứ khi nào $\alpha \ne 0, 1$ là số đại số và $\beta$ là số vô tỷ đại số thì $\alpha^\beta$ là số siêu việt — giải quyết cùng lúc hai ví dụ $2^{\sqrt{2}}$ và $e^\pi = (-1)^{-i}$ của Hilbert.Hilbert #7Đã giải
2. 1900
   Bài toán thứ mười của HilbertNền tảng toán học, Số học và Lý thuyết số. Không có thuật toán nào, nói chung, có thể xác định liệu một phương trình Diophantus có nghiệm nguyên hay không — bài toán thứ mười của Hilbert có câu trả lời phủ định.Hilbert #10YMYuri Matiyasevich, 1970
3. 1900
   Bài toán thứ ba của HilbertHình học. Mọi cặp đa giác có cùng diện tích đều có thể cắt thành hữu hạn mảnh rồi ghép lại thành nhau, nhưng Max Dehn đã chứng minh năm 1900 rằng kết quả tương tự ở 3 chiều là sai: một hình lập phương và một tứ diện đều có cùng thể tích nhưng có bất biến Dehn khác nhau trong $\mathbb{R} \otimes_{\mathbb{Q}} (\mathbb{R}/\pi\mathbb{Q})$ nên không bao giờ cắt-ghép được thành nhau.Hilbert #3Đã giải
4. 1900
   Xếp cầu trong không gian 8 chiều và 24 chiềuHình học. Mạng $E_8$ trong $\mathbb{R}^8$ và mạng Leech $\Lambda_{24}$ trong $\mathbb{R}^{24}$ đạt mật độ xếp cầu dày đặc nhất trong mọi cách sắp xếp tuần hoàn lẫn không tuần hoàn; được giải quyết vào tháng 3 năm 2016 bởi Maryna Viazovska (cho $n=8$) và Cohn, Kumar, Miller, Radchenko, Viazovska (cho $n=24$).Đã giải
5. 1904
   Giả thuyết PoincaréTô pô, Hình học. Mọi đa tạp $3$ chiều đóng, đơn liên đều đồng phôi với mặt cầu $3$ chiều $S^3$ — do Henri Poincaré đặt ra năm 1904 và được Grigori Perelman chứng minh năm 2002–2003 bằng dòng Ricci có phẫu thuật, là Bài toán thiên niên kỷ duy nhất của Viện Clay đã được giải quyết.MillenniumGPGrigori Perelman, 2003
6. 1916
   Giả thuyết BieberbachGiải tích. Mọi hàm chỉnh hình đơn diệp chuẩn hóa $f(z) = z + \sum_{n=2}^\infty a_n z^n$ trên hình tròn đơn vị mở đều thỏa mãn $|a_n| \le n$ với mọi $n \ge 2$ (định lý de Branges).Đã giải
7. 1932
   Bài toán độ lệch ErdősTổ hợp và Toán rời rạc, Số học và Lý thuyết số. Mọi dãy $\pm 1$ vô hạn đều có tổng riêng lớn tùy ý dọc theo một cấp số cộng thuần nhất $d, 2d, \dots, nd$ nào đó; được Terence Tao chứng minh năm 2015.ErdősTTTerence Tao, 2015
8. 1933
   Bài toán phân hoạch BorsukHình học. Phỏng đoán năm 1933 của Borsuk rằng mọi tập bị chặn trong $\mathbb{R}^n$ đều chia được thành $n+1$ phần có đường kính nhỏ hơn là đúng với $n \le 3$ nhưng đã bị Jeff Kahn và Gil Kalai bác bỏ ở số chiều cao năm 1993, với các phản ví dụ nay đã hạ xuống tới $n = 64$ (cùng một bản thảo preprint năm 2026 cho $n = 63$).Đã bác bỏ
9. 1959
   Bài toán Kadison–SingerGiải tích. Mọi trạng thái thuần khiết trên đại số con đường chéo $\ell^\infty(\mathbb{N})$ đều thác triển duy nhất thành một trạng thái thuần khiết trên $\mathcal{B}(\ell^2(\mathbb{N}))$, được chứng minh năm 2013 bằng các họ đa thức đan xen.Đã giải
10. 1960
    Bài toán bất biến Kervaire bằng mộtTô pô. Đa tạp trơn đóng có khung với bất biến Kervaire bằng một tồn tại ở các chiều $2, 6, 14, 30, 62$, và (theo một preprint năm 2024) $126$, và không tồn tại ở bất kỳ chiều nào cao hơn.Đã giải
11. 1960
    Giả thuyết Sato–TateSố học và Lý thuyết số. Số điểm $\#E(\mathbb{F}_p)$ của một đường cong elliptic không có phép nhân phức dao động quanh $p + 1$ như thế nào khi $p$ thay đổi? Được Mikio Sato và John Tate độc lập đề xuất khoảng năm 1960, giả thuyết rằng các góc Frobenius chuẩn hóa tuân theo phân bố $\frac{2}{\pi} \sin^2 \theta \, d\theta$ đã được giải quyết trọn vẹn trong giai đoạn 2008–2011 bởi Clozel, Harris, Shepherd-Barron, Taylor, Barnet-Lamb và Geraghty.Đã giải
12. 1963
    Sự tồn tại của tập hút LorenzPhương trình vi phân và Hệ động lực. Chứng minh rằng hệ phương trình vi phân Lorenz cổ điển thực sự sở hữu một tập hút kỳ lạ hỗn loạn bền vững, giải quyết bài toán thứ 14 của Smale thông qua chứng minh có máy tính hỗ trợ chặt chẽ của Warwick Tucker.Smale #14Đã giải
13. 1963
    Giả thuyết Ringel (phân rã duyên dáng)Tổ hợp và Toán rời rạc. Mọi cây $n$ cạnh đều xếp khít $2n+1$ lần rời nhau theo cạnh vào đồ thị đầy đủ $K_{2n+1}$; được Montgomery, Pokrovskiy và Sudakov chứng minh cho mọi $n$ đủ lớn vào năm 2020.Đã giải
14. 1966
    Bài toán einstein (viên gạch đơn không tuần hoàn)Hình học. Được giải quyết khẳng định vào năm 2023 khi David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan và Chaim Goodman-Strauss tìm ra đa giác 13 cạnh "cái mũ" (hat) và viên gạch đơn thuận nghịch chặt "Bóng ma" (Spectre).Đã giải
15. 1968
    Giả thuyết Haken hầu khắpTô pô. Mọi đa tạp 3 chiều đóng, bất khả quy có nhóm cơ bản vô hạn đều có một phủ hữu hạn lá chứa một mặt không nén được nhúng trong đó.Đã giải
16. 1972
    Giả thuyết Erdős–Faber–LovászTổ hợp và Toán rời rạc. Hợp của $n$ clique cỡ $n$ đôi một chung tối đa một đỉnh có luôn tô màu đỉnh hợp lệ được bằng $n$ màu hay không? Được Paul Erdős, Vance Faber và László Lovász đặt ra năm 1972, giả thuyết đã được Kang, Kelly, Kühn, Methuku và Osthus chứng minh cho mọi $n$ đủ lớn vào năm 2021 (xuất bản trên Annals of Mathematics năm 2023), trong khi các trường hợp nhỏ $n \le 12$ đã được kiểm chứng bằng máy tính và các giá trị trung gian vẫn còn mở.ErdősĐã giải
17. 1985
    Giả thuyết giường tầng (bunkbed)Tổ hợp và Toán rời rạc, Xác suất và Thống kê. Trong quá trình thấm trên hai đồ thị giống hệt xếp chồng lên nhau nối bằng các cột dọc, liệu xác suất liên thông cùng tầng có luôn lớn hơn hoặc bằng khác tầng? Do Kasteleyn nêu năm 1985 và bị Gladkov, Pak, Zimin bác bỏ năm 2024.Đã bác bỏ
18. 1987
    Bổ đề cơ bản của chương trình LanglandsSố học và Lý thuyết số, Đại số. Bổ đề cơ bản là một đẳng thức tổ hợp giữa các tích phân quỹ đạo trên một nhóm rút gọn và các nhóm nội soi của nó, do Robert Langlands và Diana Shelstad đặt ra. Đây là mảnh ghép cuối cùng còn thiếu để ổn định hoá công thức vết Arthur–Selberg, công cụ chính liên kết các biểu diễn tự đẳng cấu giữa các nhóm khác nhau. Ngô Bảo Châu chứng minh nó trong trường hợp tổng quát bằng cách diễn giải lại đẳng thức này dưới góc độ hình học, như một phát biểu về đối đồng điều của thớ Hitchin.NCNgô Bảo Châu, 2008
19. 1992
    Giả thuyết độ nhạy (Sensitivity conjecture)Tổ hợp và Toán rời rạc, Toán ứng dụng và Tính toán. Liệu độ nhạy $s(f)$ của một hàm Boole có quan hệ đa thức với độ nhạy khối, bậc đa thức và độ sâu cây quyết định của nó hay không? Được Noam Nisan và Mario Szegedy nêu năm 1992 và được Gotsman cùng Linial đưa về một bài toán trên đồ thị con của siêu lập phương, giả thuyết đã được Hao Huang giải quyết năm 2019 trong chứng minh dài hai trang chỉ ra rằng $\Delta(H) \ge \sqrt{n}$ với mọi đồ thị con cảm sinh gồm $(2^{n-1} + 1)$ đỉnh của $Q_n$.Đã giải
20. 1995
    Bài toán tập mũ (cap set)Tổ hợp và Toán rời rạc. Một tập con của $\mathbb{F}_3^n$ không chứa đường thẳng afin có thể lớn tới mức nào? Được giải quyết năm 2016 khi Ellenberg và Gijswijt, phát triển phương pháp đa thức của Croot, Lev và Pach, chứng minh chặn mũ $r_3(\mathbb{F}_3^n) = O(2.756^n)$.Đã giải