Bài toán lớn

Cận đại

1. 1611
   Phỏng đoán KeplerHình học. Cách xếp chồng các quả cầu bằng nhau dày đặc nhất trong không gian chính là kiểu chồng đạn đại bác quen thuộc, với mật độ $\pi/\sqrt{18}$.Hilbert #18THThomas Hales, 1998

Thế kỷ 19

1. 1859
   Giả thuyết RiemannSố học và Lý thuyết số, Giải tích. Hàm zeta mã hoá sự phân bố của số nguyên tố: các không điểm của nó khống chế số hạng sai số trong hàm đếm số nguyên tố $\pi(x)$. Năm 1859, Riemann nhận thấy mọi không điểm không tầm thường mà ông tính được đều nằm trên đường thẳng tới hạn $\mathrm{Re}(s)=\tfrac12$, và đặt giả thuyết rằng điều này luôn đúng. Một chứng minh sẽ cho dạng mạnh nhất có thể của định lý số nguyên tố; hàng tỷ không điểm đã được kiểm tra bằng máy tính và đều nằm trên đường này, nhưng chưa có chứng minh hay phản chứng nào. Đây là một trong bảy Bài toán thiên niên kỷ của Viện Clay.MillenniumHilbert #8Còn mở
2. 1878
   Giả thuyết continuumNền tảng toán học. Cantor chứng minh tập số thực không đếm được, nên bản số $2^{\aleph_0}$ của nó thực sự lớn hơn bản số $\aleph_0$ của tập số nguyên. Giả thuyết continuum (CH) hỏi liệu $2^{\aleph_0}$ có đúng là bản số kế tiếp $\aleph_1$ hay không. Gödel (1940) chứng minh CH không thể bị bác bỏ từ hệ tiên đề ZFC chuẩn, còn Cohen (1963) chứng minh CH cũng không thể được chứng minh, bằng phương pháp ép (forcing) mới do ông phát minh. Vì vậy CH độc lập với ZFC: cả CH lẫn phủ định của nó đều nhất quán với các tiên đề thông thường của lý thuyết tập hợp, nên câu hỏi này không có lời giải chỉ trong khuôn khổ ZFC.Hilbert #1KGKurt Gödel, 1963

Thế kỷ 20

1. 1900
   Bài toán thứ bảy của HilbertSố học và Lý thuyết số. Được chứng minh độc lập năm 1934 bởi Aleksandr Gelfond và Theodor Schneider: bất cứ khi nào $\alpha \ne 0, 1$ là số đại số và $\beta$ là số vô tỷ đại số thì $\alpha^\beta$ là số siêu việt — giải quyết cùng lúc hai ví dụ $2^{\sqrt{2}}$ và $e^\pi = (-1)^{-i}$ của Hilbert.Hilbert #7Đã giải
2. 1900
   Bài toán thứ mười sáu của HilbertPhương trình vi phân và Hệ động lực, Hình học. Hỏi về các cách sắp xếp có thể có của các đường trái xoan của một đường cong đại số thực bậc $n$ và một chặn đều $H(n)$ cho số chu trình giới hạn của trường vectơ đa thức bậc $n$ trên mặt phẳng. Mỗi hệ đa thức riêng lẻ chỉ có hữu hạn chu trình giới hạn (Ilyashenko 1991; Écalle 1992), nhưng việc $H(n) < \infty$ hay không vẫn còn để ngỏ ngay cả với $n = 2$.Hilbert #16Smale #13Còn mở
3. 1900
   Bài toán thứ sáu của HilbertVật lý toán. Hilbert yêu cầu cả nền tảng tiên đề cho xác suất và cơ học lẫn phép suy dẫn chặt chẽ các phương trình chất lưu vĩ mô từ va chạm hạt vi mô. Kolmogorov đã tiên đề hóa xác suất năm 1933, và năm 2025 Deng, Hani cùng Ma đã suy ra phương trình Boltzmann thời gian dài và các phương trình chất lưu từ động lực học quả cầu cứng, trong khi việc tiên đề hóa toàn bộ vật lý hiện đại vẫn còn để ngỏ.Hilbert #6Giải một phần
4. 1900
   Bài toán thứ mười của HilbertNền tảng toán học, Số học và Lý thuyết số. Không có thuật toán nào, nói chung, có thể xác định liệu một phương trình Diophantus có nghiệm nguyên hay không — bài toán thứ mười của Hilbert có câu trả lời phủ định.Hilbert #10YMYuri Matiyasevich, 1970
5. 1900
   Bài toán thứ ba của HilbertHình học. Mọi cặp đa giác có cùng diện tích đều có thể cắt thành hữu hạn mảnh rồi ghép lại thành nhau, nhưng Max Dehn đã chứng minh năm 1900 rằng kết quả tương tự ở 3 chiều là sai: một hình lập phương và một tứ diện đều có cùng thể tích nhưng có bất biến Dehn khác nhau trong $\mathbb{R} \otimes_{\mathbb{Q}} (\mathbb{R}/\pi\mathbb{Q})$ nên không bao giờ cắt-ghép được thành nhau.Hilbert #3Đã giải
6. 1900
   Bài toán thứ mười hai của HilbertSố học và Lý thuyết số. Yêu cầu tìm các phần tử sinh giải tích tường minh cho mọi mở rộng abel của một trường số $K$, tổng quát hóa cách các căn đơn vị $\exp(2\pi i/n)$ sinh ra $\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}}$. Đã được giải cho trường bậc hai ảo nhờ phép nhân phức và cho trường thực toàn phần theo nghĩa $p$-adic bởi Dasgupta và Kakde (2021–2023), trong khi bài toán giải tích phức tổng quát vẫn còn để ngỏ.Hilbert #12Còn mở