Bài toán thứ ba của Hilbert

Cho hai khối đa diện bất kỳ có cùng thể tích trong không gian Euclid ba chiều $\mathbb{R}^3$, liệu có luôn cắt được khối thứ nhất thành hữu hạn mảnh đa diện rồi ghép lại bằng các phép dời hình để tạo thành khối thứ hai hay không? Hilbert phỏng đoán câu trả lời là không, và yêu cầu chỉ ra hai khối đa diện có cùng thể tích nhưng không tương đương cắt-ghép.

Max Dehn, học trò của Hilbert, đã giải bài toán ngay năm 1900 — biến đây thành bài đầu tiên trong 23 bài toán của Hilbert được giải quyết — bằng cách đưa ra bất biến Dehn $\operatorname{Dehn}(P) = \sum_e \ell(e) \otimes [\theta(e)] \in \mathbb{R} \otimes_{\mathbb{Q}} (\mathbb{R}/\pi\mathbb{Q})$, trong đó $\ell(e)$ là độ dài và $\theta(e)$ là góc nhị diện tại mỗi cạnh $e$. Mọi phép cắt đa diện hữu hạn đều bảo toàn $\operatorname{Dehn}(P)$; hình lập phương có $\operatorname{Dehn} = 0$ vì các góc nhị diện bằng $\pi/2$, trong khi tứ diện đều có $\theta = \arccos(1/3)$ không phải là bội hữu tỷ của $\pi$, nên $\operatorname{Dehn} \ne 0$. Bài báo của Dehn đăng trên Mathematische Annalen năm 1901.