Định lýĐã chứng minh

Bất đẳng thức AM–GM (Cô-si)

Phát biểu

Với các số thực không âm $a_1,\dots,a_n$ , ta có $\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$ , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=\cdots=a_n$ .

Vì sao đúng?

Trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi cố định, hình vuông có diện tích lớn nhất — kéo giãn các cạnh ra để chúng không bằng nhau chỉ làm tích nhỏ đi trong khi tổng (chu vi) vẫn giữ nguyên. Bất đẳng thức AM–GM chính là hiện tượng này trong $n$ chiều: với tổng cố định, tích các số lớn nhất đúng khi chúng bằng nhau, và bất kỳ sự mất cân bằng nào giữa chúng cũng chỉ làm tích nhỏ đi.

Phác thảo chứng minh

Phép quy nạp tiến-lùi của Cauchy chứng minh trước cho $n=2^k$ bằng cách áp dụng lặp lại trường hợp hai biến $\tfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$ (tương đương với $(\sqrt a-\sqrt b)^2\ge 0$ ), rồi đi xuống từ $n=2^k$ tới mọi $n$ nhỏ hơn bằng cách áp bất đẳng thức $2^k$ biến cho $n$ số đã được thêm vào các bản sao của chính trung bình cộng của chúng.

Người chứng minh

chứng minh năm 1821Augustin-Louis Cauchy

Chủ đề chứa định lý này

Bất đẳng thức

Định lý liên quan

Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya (1934). Inequalities