Định lýĐã chứng minh

Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz

Phát biểu

Với các vectơ thực (hoặc phức) $u=(u_1,\dots,u_n)$ và $v=(v_1,\dots,v_n)$ , $\left|\sum_{i=1}^n u_i\overline{v_i}\right|^2 \le \left(\sum_{i=1}^n |u_i|^2\right)\left(\sum_{i=1}^n |v_i|^2\right)$ , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $u$ và $v$ phụ thuộc tuyến tính.

Vì sao đúng?

Bất đẳng thức thực chất là một phát biểu ngụy trang về góc: $\sum u_iv_i$ là tích vô hướng $\lVert u\rVert\lVert v\rVert\cos\theta$ , và $\cos\theta$ không bao giờ vượt quá $1$ về giá trị tuyệt đối. Vậy bất đẳng thức chỉ nói rằng chiếu một vectơ lên vectơ khác không bao giờ cho ra thứ dài hơn mức mà chính các vectơ cho phép — hình chiếu lớn nhất đúng khi các vectơ cùng phương.

Phác thảo chứng minh

Với các vectơ thực, xét tam thức bậc hai $f(t)=\sum_i (tu_i - v_i)^2 = t^2\sum u_i^2 - 2t\sum u_iv_i + \sum v_i^2 \ge 0$ với mọi $t \in \mathbb{R}$ : biệt thức của nó phải $\le 0$ , sắp xếp lại sẽ cho trực tiếp bất đẳng thức. Tổng quát (cho cả vectơ thực và phức), đồng nhất thức Lagrange $\left(\sum_i |u_i|^2\right)\left(\sum_i |v_i|^2\right) - \left|\sum_i u_i\overline{v_i}\right|^2 = \sum_{i<j} |u_iv_j - u_jv_i|^2 \ge 0$ cho ngay bất đẳng thức và chỉ ra dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $u_iv_j = u_jv_i$ với mọi $i,j$ , tức là $u$ và $v$ phụ thuộc tuyến tính.

Người chứng minh

chứng minh năm 1821Augustin-Louis Cauchy

Chủ đề chứa định lý này

Bất đẳng thức

Định lý liên quan

Bất đẳng thức AM–GM (Cô-si)

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya (1934). Inequalities