Định lýĐã chứng minh

Định lý Borsuk–Ulam

Phát biểu

Với mọi ánh xạ liên tục $f: S^n \to \mathbb{R}^n$ , tồn tại một điểm $x \in S^n$ sao cho $f(x) = f(-x)$ . Tương đương, không tồn tại ánh xạ liên tục $S^n \to S^{n-1}$ thoả $f(-x) = -f(x)$ với mọi $x$ .

Vì sao đúng?

Tại mọi thời điểm, luôn tồn tại hai điểm đối cực trên bề mặt Trái Đất (hai đầu của một đường kính qua tâm) có cùng nhiệt độ và cùng áp suất khí quyển tại cùng một lúc, bởi vì nhiệt độ và áp suất biến thiên liên tục và ở đây $n=2$ .

Phác thảo chứng minh

Định lý có thể suy ra từ một bổ đề phủ của Lusternik và Schnirelmann: nếu $S^n$ được phủ bởi $n+1$ tập đóng, thì ít nhất một trong số đó phải chứa một cặp điểm đối cực. Áp dụng điều này cho các tập xây dựng từ $f$ (chia $S^n$ theo toạ độ nào của $f(x)$ có giá trị tuyệt đối lớn nhất) buộc $f(x)=f(-x)$ với một $x$ nào đó; định lý cũng có thể chứng minh trực tiếp bằng lập luận bậc/chỉ số trên ánh xạ $g(x)=f(x)-f(-x)$ .

Chủ đề chứa định lý này

Đồng điều và đối đồng điều

Định lý liên quan

Định lý điểm bất động Brouwer Định lý đường cong Jordan

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Karol Borsuk (1933). Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre
Jiří Matoušek (2003). Using the Borsuk–Ulam Theorem