Định lýĐã chứng minh

Định lý đường cong Jordan

Phát biểu

Cho $\gamma$ là một đường cong đóng đơn (ảnh liên tục, đơn ánh của một đường tròn) trong mặt phẳng $\mathbb{R}^2$ . Khi đó $\mathbb{R}^2 \setminus \gamma$ có đúng hai thành phần liên thông: một miền trong bị chặn và một miền ngoài không bị chặn, và $\gamma$ là biên của cả hai miền đó.

Vì sao đúng?

Điều này có vẻ hiển nhiên với một đường tròn hay một vòng nguệch ngoạc vẽ tay: một con côn trùng ở bên trong không thể ra ngoài mà không cắt qua đường cong. Định lý khó chính là vì 'đường cong đóng đơn' cũng cho phép những đường cong kỳ dị, không trơn ở đâu cả, gấp khúc vô hạn (như biên của bông tuyết Koch), mà với chúng khái niệm 'trong' và 'ngoài' vẫn cần được định nghĩa và chứng minh chặt chẽ.

Phác thảo chứng minh

Các chứng minh chặt chẽ hiện đại (đầu tiên do Veblen đưa ra năm 1905, sau khi lập luận năm 1887 của chính Jordan bị phát hiện có lỗ hổng) tiến hành bằng cách xấp xỉ đường cong bằng đa giác rồi dùng lập luận tổ hợp thuần tuý về tính chẵn lẻ (một tia từ một điểm cắt đường cong một số chẵn hoặc lẻ lần tuỳ theo điểm đó ở ngoài hay trong), hoặc theo hướng tô pô đại số, bằng cách tính rằng $\mathbb{R}^2$ trừ đi đường cong có đúng hai thành phần liên thông đường qua đối ngẫu Alexander / đồng điều rút gọn của phần bù.

Chủ đề chứa định lý này

Không gian tô pô, compact, liên thông

Định lý liên quan

Định lý Borsuk–Ulam Định lý phân loại các mặt đóng

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Oswald Veblen (1905). Theory of Plane Curves in Non-Metrical Analysis Situs
James R. Munkres (2000). Topology