Định lýĐã chứng minh

Định lý phân loại các mặt đóng

Phát biểu

Mọi mặt compact liên thông không biên đều đồng phôi với đúng một trong các dạng sau: mặt cầu $S^2$ ; tổng liên thông của $g \geq 1$ hình xuyến (mặt định hướng được, giống $g$ , $\chi = 2-2g$ ); hoặc tổng liên thông của $k \geq 1$ mặt phẳng xạ ảnh $\mathbb{RP}^2$ (mặt không định hướng được, $\chi = 2-k$ ). Không có hai mặt nào trong danh sách này đồng phôi với nhau.

Vì sao đúng?

Dù một mặt đóng trông xoắn vặn hay nhàu nát đến đâu, cắt nó ra rồi ráp lại về mặt tô pô luôn cho ra hoặc là một mặt cầu trơn, hoặc là một mặt cầu gắn thêm một số quai (như xếp chồng những chiếc bánh vòng lên một quả cầu - hình xuyến, hình xuyến hai lỗ, v.v.), hoặc là một mặt cầu khâu vào một số 'vặn kiểu dải Möbius' (không thể nhúng vào không gian ba chiều thông thường mà không tự cắt nhau, như chai Klein hay mặt phẳng xạ ảnh).

Phác thảo chứng minh

Tam giác hoá mặt cần xét, rồi cắt nó dọc theo một cây khung (spanning tree) của đồ thị đối ngẫu của phép tam giác hoá để được một đa giác duy nhất mà các cạnh được ghép đôi theo một từ gồm các nhãn cạnh (chẳng hạn $aba^{-1}b^{-1}$ cho hình xuyến). Một dãy các phép cắt–dán sơ cấp trên đa giác này (đổi nhãn, cắt theo đường chéo rồi dán lại) đưa bất kỳ từ nào như vậy về một trong các dạng chuẩn $a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}\cdots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}$ hoặc $a_1a_1\cdots a_ka_k$ , qua đó xác định mặt là mặt định hướng được giống $g$ hoặc tổng liên thông của $k$ mặt phẳng xạ ảnh.

Chủ đề chứa định lý này

Đặc số Euler

Định lý liên quan

Công thức đa diện Euler Định lý Gauss–Bonnet Định lý quả bóng lông

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

William S. Massey (1991). A Basic Course in Algebraic Topology
George K. Francis, Jeffrey R. Weeks (1999). Conway's ZIP Proof