Định lýĐã chứng minh

Định lý kẹp

Phát biểu

Nếu $g(x)\le f(x)\le h(x)$ với mọi $x$ gần $a$ (có thể trừ tại $a$ ) và $\lim_{x\to a} g(x) = \lim_{x\to a} h(x) = L$ , thì $\lim_{x\to a} f(x) = L$ .

Vì sao đúng?

Một đại lượng bị kẹp giữa hai đại lượng khác cùng hội tụ về một giá trị thì không còn chỗ để đi đâu khác - giống như một người bị kẹp giữa hai bức tường cùng khép lại về đúng một điểm.

Phác thảo chứng minh

Cố định $\varepsilon>0$ . Vì $g(x)\to L$ và $h(x)\to L$ , tồn tại $\delta>0$ sao cho với $0<|x-a|<\delta$ , cả $|g(x)-L|<\varepsilon$ và $|h(x)-L|<\varepsilon$ , tức $L-\varepsilon<g(x)$ và $h(x)<L+\varepsilon$ . Kết hợp với $g(x)\le f(x)\le h(x)$ , ta được $L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon$ , tức $|f(x)-L|<\varepsilon$ , với mọi $x$ như vậy. Vì $\varepsilon$ tuỳ ý, $f(x)\to L$ .

Chủ đề chứa định lý này

Giới hạn của hàm số

Định lý liên quan

Định lý giá trị trung gian Định lý Bolzano–Weierstrass

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

James Stewart (2015). Calculus
Walter Rudin (1976). Principles of Mathematical Analysis