MathLabs
Định lýĐã chứng minh

Định lý Taylor

Phát biểu

Nếu ff khả vi n+1n+1 lần trên một khoảng chứa aa và xx, thì f(x)=∑k=0nf(k)(a)k!(x−a)k+Rn(x)f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + R_n(x), trong đó phần dư Lagrange là Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−a)n+1R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} với một ξ\xi nào đó nằm thực sự giữa aa và xx.

Vì sao đúng?

Một hàm trơn gần một điểm được xấp xỉ tốt bởi một đa thức khớp giá trị của hàm và mọi đạo hàm của nó tới một cấp nào đó tại điểm đó; số hạng dư đo chính xác độ tốt của xấp xỉ này và thường giảm rất nhanh khi ta thêm càng nhiều số hạng.

Phác thảo chứng minh

Cố định xx và đặt g(t)=f(x)−∑k=0nf(k)(t)k!(x−t)kg(t)=f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k và h(t)=(x−t)n+1h(t)=(x-t)^{n+1}. Khi đó g(x)=h(x)=0g(x)=h(x)=0, và sau khi rút gọn kiểu domino, g′(t)=−f(n+1)(t)n!(x−t)ng'(t)=-\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n, còn h′(t)=−(n+1)(x−t)nh'(t)=-(n+1)(x-t)^n. Áp dụng định lý giá trị trung bình Cauchy cho g,hg,h trên khoảng giữa aa và xx cho g(a)−g(x)h(a)−h(x)=g′(ξ)h′(ξ)\frac{g(a)-g(x)}{h(a)-h(x)}=\frac{g'(\xi)}{h'(\xi)} với một ξ\xi nào đó giữa aa và xx, rút gọn đúng thành Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−a)n+1R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.

Người chứng minh

chứng minh năm 1797Joseph-Louis Lagrange

Chủ đề chứa định lý này

Chuỗi lũy thừa, chuỗi Taylor

Định lý liên quan

Định lý giá trị trung bình (Lagrange)Định lý Rolle

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

  1. Brook Taylor (1715). Methodus Incrementorum Directa et Inversa
  2. Joseph-Louis Lagrange (1797). Théorie des fonctions analytiques