Định lýĐã chứng minh

Định lý Rolle

Phát biểu

Nếu $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ liên tục trên $[a,b]$ , khả vi trên $(a,b)$ , và $f(a)=f(b)$ , thì tồn tại $c\in(a,b)$ sao cho $f'(c)=0$ .

Vì sao đúng?

Một đường đi trơn quay về đúng độ cao ban đầu thì tại một điểm nào đó ở giữa phải có một khoảnh khắc độ dốc bằng không — thời điểm nó ngừng đi lên và bắt đầu đi xuống, hoặc ngược lại, ở một đỉnh hoặc một đáy.

Phác thảo chứng minh

Theo định lý giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, $f$ đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên $[a,b]$ . Nếu cả hai chỉ xảy ra tại các đầu mút, thì vì $f(a)=f(b)$ , $f$ là hàm hằng trên $[a,b]$ và $f'(c)=0$ với mọi $c\in(a,b)$ . Ngược lại, một cực trị xảy ra tại một điểm trong $c\in(a,b)$ ; vì $f$ khả vi tại đó, các tỷ sai phân một phía tiến từ hai hướng phải bằng nhau và tương ứng $\ge 0$ và $\le 0$ (hoặc ngược lại với cực tiểu), buộc $f'(c)=0$ .

Chủ đề chứa định lý này

Ứng dụng đạo hàm

Định lý liên quan

Định lý giá trị trung bình (Lagrange)Định lý giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach (2011). A History of Mathematics
James Stewart (2015). Calculus