幂级数与泰勒级数

比值判别法把级数的相邻项与几何级数作比较:若相邻项之比的绝对值最终小于1,该级数的表现就如同一个收敛的几何级数,和为有限值。

固定 $x \neq c$,对数项级数 $\sum b_n$ 的项 $b_n = a_n(x-c)^n$ 应用比值判别法。计算

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left| \frac{b_{n+1}}{b_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}(x-c)^{n+1}}{a_n(x-c)^n} \right| = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \cdot |x-c| = L\,|x-c|$。

由数项级数的比值判别法,当 $L|x-c| < 1$,即 $|x-c| < 1/L$ 时,$\sum b_n$ 绝对收敛;当 $L|x-c| > 1$,即 $|x-c| > 1/L$ 时发散。因此对满足 $|x-c| < 1/L$ 的一切 $x$ 级数绝对收敛,对满足 $|x-c| > 1/L$ 的一切 $x$ 级数发散。

这恰好就是收敛半径的定义:使级数对一切 $|x-c| < R$ 都收敛的最大 $R$。于是 $R = 1/L$。边界情形 $L=0$(比值总是趋于0,故对一切 $x$ 收敛,得 $R=\infty$)与 $L=\infty$(对任意 $x \neq c$ 比值发散,故只在 $x=c$ 处收敛,得 $R=0$)由同样的论证取相应极限即可得到。

幂级数的行为如同一个无穷多项式,而多项式可以逐项求导;该定理表明只要严格处于收敛半径内部,这条熟悉的规则在项数变为无穷多时依然成立。

首先证明逐项求导后的级数具有相同的收敛半径。设 $c_n = n a_n$ 为逐项导数(指标平移后)的系数。由于 $n \to \infty$ 时 $n^{1/n} \to 1$,故 $\limsup_n |n a_n|^{1/n} = \limsup_n |a_n|^{1/n}$,由柯西—阿达马公式,$\sum a_n(x-c)^n$ 与 $\sum n a_n (x-c)^{n-1}$ 具有相同的收敛半径 $R$。

其次,固定任意闭区间 $[c-\rho, c+\rho]$,其中 $\rho < R$。在该区间上,导数级数 $\sum n a_n (x-c)^{n-1}$ 一致收敛,因为(当 $n$ 充分大时)其各项被 $M \rho^{n-1}$ 控制,其中常数来自稍大的半径 $\rho' \in (\rho, R)$,可应用魏尔斯特拉斯 M 判别法。

导数级数在 $[c-\rho, c+\rho]$ 上的一致收敛,连同原级数 $\sum a_n(x-c)^n$ 的逐点收敛,使我们能够应用函数级数逐项求导的标准定理:和函数 $f(x)$ 在 $[c-\rho,c+\rho]$ 上可微,且 $f'(x)$ 在该处等于导数级数之和。由于 $\rho < R$ 是任意的,故此结论在整个 $(c-R,\ c+R)$ 上成立。