Chuỗi lũy thừa, chuỗi Taylor

Tiêu chuẩn tỉ số so sánh các số hạng liên tiếp của chuỗi với một chuỗi hình học: nếu tỉ số các số hạng liên tiếp cuối cùng có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1, chuỗi ứng xử như một chuỗi hình học hội tụ và cho tổng hữu hạn.

Cố định $x \neq c$ và áp dụng tiêu chuẩn tỉ số cho các số hạng $b_n = a_n(x-c)^n$ của chuỗi số $\sum b_n$. Ta tính

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left| \frac{b_{n+1}}{b_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}(x-c)^{n+1}}{a_n(x-c)^n} \right| = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \cdot |x-c| = L\,|x-c|$.

Theo tiêu chuẩn tỉ số cho chuỗi số, $\sum b_n$ hội tụ tuyệt đối khi $L|x-c| < 1$, tức khi $|x-c| < 1/L$, và phân kỳ khi $L|x-c| > 1$, tức khi $|x-c| > 1/L$. Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối với mọi $x$ thỏa $|x-c| < 1/L$ và phân kỳ với mọi $x$ thỏa $|x-c| > 1/L$.

Đây chính xác là định nghĩa của bán kính hội tụ: $R$ lớn nhất sao cho chuỗi hội tụ với mọi $|x-c| < R$. Do đó $R = 1/L$. Các trường hợp biên $L=0$ (tỉ số luôn tiến về 0 nên chuỗi hội tụ với mọi $x$, cho $R=\infty$) và $L=\infty$ (tỉ số bùng nổ với mọi $x \neq c$ nên chuỗi chỉ hội tụ tại $x=c$, cho $R=0$) suy ra từ cùng lập luận khi lấy giới hạn tương ứng.

Chuỗi lũy thừa ứng xử như một đa thức vô hạn, và đa thức có thể đạo hàm từng số hạng; định lý này nói rằng quy tắc quen thuộc đó vẫn đúng khi chuyển sang vô hạn số hạng, miễn là ta ở hẳn bên trong bán kính hội tụ.

Trước tiên ta chỉ ra chuỗi đạo hàm có cùng bán kính hội tụ. Đặt $c_n = n a_n$ là hệ số của đạo hàm từng số hạng (dịch chỉ số). Vì $n^{1/n} \to 1$ khi $n \to \infty$, ta có $\limsup_n |n a_n|^{1/n} = \limsup_n |a_n|^{1/n}$, và theo công thức Cauchy–Hadamard, hai chuỗi $\sum a_n(x-c)^n$ và $\sum n a_n (x-c)^{n-1}$ có cùng bán kính hội tụ $R$.

Tiếp theo, cố định một khoảng đóng bất kỳ $[c-\rho, c+\rho]$ với $\rho < R$. Trên khoảng này, chuỗi đạo hàm $\sum n a_n (x-c)^{n-1}$ hội tụ đều, vì các số hạng của nó (với $n$ đủ lớn) bị chặn bởi $M \rho^{n-1}$ với hằng số đến từ một bán kính lớn hơn một chút $\rho' \in (\rho, R)$, và tiêu chuẩn Weierstrass M áp dụng được.

Sự hội tụ đều của chuỗi đạo hàm trên $[c-\rho, c+\rho]$ cùng với sự hội tụ điểm của chuỗi gốc $\sum a_n(x-c)^n$ cho phép ta dùng định lý chuẩn về đạo hàm từng số hạng của chuỗi hàm: tổng $f(x)$ khả vi trên $[c-\rho,c+\rho]$ và $f'(x)$ bằng tổng của chuỗi đạo hàm tại đó. Vì $\rho < R$ là tùy ý nên điều này đúng trên toàn bộ $(c-R,\ c+R)$.