Định lýĐã chứng minh

Định lý Thales

Phát biểu

Trong tam giác $ABC$ , xét một đường thẳng cắt hai cạnh $AB$ và $AC$ (hoặc phần kéo dài của chúng) lần lượt tại $D$ và $E$ . Đường thẳng $DE$ song song với $BC$ khi và chỉ khi nó định ra trên hai cạnh các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ: $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ , và khi đó $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$ .

Vì sao đúng?

Khi trượt một đường thẳng song song với cạnh đáy $BC$ về phía đỉnh $A$ , tam giác $\triangle ADE$ co giãn đồng đều so với $\triangle ABC$ , vì các góc ở đáy vẫn bằng các góc tương ứng của $\triangle ABC$ . Phép phóng tỉ lệ đồng đều làm co mọi kích thước dài theo cùng một hệ số, nên các đoạn thẳng chắn trên $AB$ và trên $AC$ , cũng như chính đoạn song song $DE$ , đều giữ nguyên cùng một tỉ số.

Phác thảo chứng minh

Theo lập luận diện tích của Euclid (Quyển VI, Mệnh đề 2): nối $BE$ và $CD$ . Hai tam giác $\triangle ADE$ và $\triangle BDE$ có chung đường cao hạ từ $E$ xuống đường thẳng $AB$ , nên tỉ số diện tích của chúng bằng tỉ số hai đáy, $\dfrac{[\triangle ADE]}{[\triangle BDE]} = \dfrac{AD}{DB}$ ; tương tự $\dfrac{[\triangle ADE]}{[\triangle CDE]} = \dfrac{AE}{EC}$ . Vì $DE$ song song với $BC$ nên hai tam giác $\triangle BDE$ và $\triangle CDE$ có chung đáy $DE$ và có chiều cao bằng nhau giữa hai đường thẳng song song, suy ra $[\triangle BDE] = [\triangle CDE]$ , từ đó buộc $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ .

Người chứng minh

chứng minh năm -300Euclid xứ Alexandria

Chủ đề chứa định lý này

Định lý Thales, Pythagoras

Định lý liên quan

Định lý Pythagoras Tiên đề song song của Euclid

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Euclid (translated by Thomas L. Heath) (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements, Vol. 2 (Book VI, Proposition 2)
Robin Hartshorne (2000). Geometry: Euclid and Beyond · DOI:10.1007/978-0-387-22676-7