定理証明済み

タレスの定理（平行線と線分の比の定理）

内容

三角形 $ABC$ において、直線が辺 $AB$ と $AC$ （またはそれらの延長）にそれぞれ点 $D$ と $E$ で交わるとする。直線 $DE$ が $BC$ に平行であることと、辺を同じ比に分けること（すなわち $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ ）は同値であり、そのとき $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$ が成り立つ。

なぜ正しいのか?

底辺 $BC$ に平行な直線を頂点 $A$ に向かってスライドさせると、底角が $\triangle ABC$ の対応する角と等しいまま保たれるため、三角形 $\triangle ADE$ は $\triangle ABC$ に対して一様に縮小される。一様な拡大・縮小はすべての長さを同じ倍率で変えるので、辺 $AB$ 上と辺 $AC$ 上に切り取られる線分、さらには平行線分 $DE$ 自体もすべて同じ比を保つ。

証明の概略

ユークリッドの面積論法（『原論』第6巻命題2）に従い、 $BE$ と $CD$ を結ぶ。三角形 $\triangle ADE$ と $\triangle BDE$ は点 $E$ から直線 $AB$ への高さを共有するので、面積の比は底辺の比に等しく $\dfrac{[\triangle ADE]}{[\triangle BDE]} = \dfrac{AD}{DB}$ となり、同様に $\dfrac{[\triangle ADE]}{[\triangle CDE]} = \dfrac{AE}{EC}$ となる。 $DE$ は $BC$ に平行であるため、三角形 $\triangle BDE$ と $\triangle CDE$ は底辺 $DE$ を共有し平行線間の高さが等しいので $[\triangle BDE] = [\triangle CDE]$ となり、ゆえに $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ が従う。

証明者

-300年に証明アレクサンドリアのエウクレイデス

この定理を使うトピック

タレスの定理とピタゴラスの定理

参考文献

Euclid (translated by Thomas L. Heath) (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements, Vol. 2 (Book VI, Proposition 2)
Robin Hartshorne (2000). Geometry: Euclid and Beyond · DOI:10.1007/978-0-387-22676-7