Định lýĐã chứng minh

Luật bán nguyệt Wigner

Phát biểu

Cho $W_n = (X_{ij})_{1 \le i,j \le n}$ là dãy các ma trận ngẫu nhiên đối xứng thực (hoặc Hermite phức) cỡ $n \times n$ có các phần tử thuộc tam giác trên $X_{ij}$ ( $i \le j$ ) là các biến ngẫu nhiên độc lập với kỳ vọng $0$ , phương sai ngoài đường chéo bằng $1$ , và các mômen bậc cao bị chặn. Gọi $\lambda_1 \le \dots \le \lambda_n$ là các trị riêng của $\frac{1}{\sqrt{n}}W_n$ . Khi $n \to \infty$ , độ đo phổ thực nghiệm $\mu_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \delta_{\lambda_k}$ hội tụ yếu hầu chắc chắn về phân phối bán nguyệt Wigner có hàm mật độ $\rho_{\mathrm{sc}}(x) = \frac{1}{2\pi}\sqrt{4 - x^2}\,\mathbf{1}_{[-2,2]}(x)$ .

Vì sao đúng?

Cũng như định lý giới hạn trung tâm cho biết tổng của nhiều số ngẫu nhiên độc lập luôn tuân theo đường cong hình chuông phổ quát bất kể phân phối riêng lẻ của chúng, luật bán nguyệt Wigner cho biết các trị riêng của một ma trận đối xứng lớn chứa các phần tử ngẫu nhiên độc lập sẽ trải ra thành một vòm bán nguyệt phổ quát trên $[-2,2]$ sau khi chia tỷ lệ cho $\sqrt{n}$ .

Phác thảo chứng minh

Bằng phương pháp mômen, ta tính kỳ vọng các mômen vết $\int x^k\,d\mu_n(x) = \frac{1}{n}\operatorname{Tr}\left(\left(\frac{W_n}{\sqrt{n}}\right)^k\right) = n^{-1 - k/2} \sum_{i_1, \dots, i_k = 1}^n X_{i_1 i_2} X_{i_2 i_3} \cdots X_{i_k i_1}$ . Mỗi số hạng ứng với một đường đi đóng độ dài $k$ trên $\{1, \dots, n\}$ . Vì $\mathbb{E}[X_{ij}] = 0$ , mọi đường đi chỉ qua một cạnh đúng một lần đều có kỳ vọng bằng $0$ . Với $k$ lẻ, mọi đóng góp chính đều triệt tiêu trong giới hạn $n \to \infty$ . Với $k = 2m$ chẵn, các đường đi duy nhất còn lại sau khi nhân hệ số chuẩn hóa $n^{-1-m}$ là các cây kép trên $m + 1$ đỉnh đi qua mỗi cạnh trong $m$ cạnh đúng hai lần; số lượng đường đi chính tắc như vậy là số Catalan $C_m = \frac{1}{m+1}\binom{2m}{m}$ . Vì $\int_{-2}^2 x^{2m} \rho_{\mathrm{sc}}(x)\,dx = C_m$ và $\rho_{\mathrm{sc}}$ có giá compact, sự hội tụ của các mômen xác định duy nhất sự hội tụ yếu về $\rho_{\mathrm{sc}}$ .

Chủ đề chứa định lý này

Ma trận ngẫu nhiên

Định lý liên quan

Định lý giới hạn trung tâm Định lý phổ (ma trận đối xứng thực)

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Eugene P. Wigner (1955). Characteristic Vectors of Bordered Matrices with Infinite Dimensions
Eugene P. Wigner (1958). On the Distribution of the Roots of Certain Symmetric Matrices
Greg W. Anderson, Alice Guionnet, Ofer Zeitouni (2010). An Introduction to Random Matrices