Định lýĐã chứng minh

Định lý giới hạn trung tâm

Phát biểu

Cho $X_1, X_2, \dots$ là các biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng phân phối với kỳ vọng hữu hạn $\mu = \mathbb{E}[X_1]$ và phương sai dương hữu hạn $\sigma^2 = \operatorname{Var}(X_1) > 0$ . Với tổng chuẩn hóa $Z_n = \frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)}{\sigma}$ , ta có $\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(Z_n \le z) = \Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^z e^{-t^2/2}\,dt$ với mọi $z \in \mathbb{R}$ ; nghĩa là $Z_n$ hội tụ theo phân phối về $\mathcal{N}(0,1)$ .

Vì sao đúng?

Khi cộng nhiều tác động ngẫu nhiên nhỏ và độc lập lại với nhau, những nét đặc thù của từng phân phối riêng lẻ bị xóa nhòa, và dao động đã chuẩn hóa quanh kỳ vọng luôn tiến về đường cong hình chuông Gauss $\mathcal{N}(0,1)$ — đó là lý do sai số đo lường, điểm thi và nhiễu nhiệt đều có dạng xấp xỉ chuẩn.

Phác thảo chứng minh

Đặt $Y_i = \frac{X_i - \mu}{\sigma}$ , khi đó $\mathbb{E}[Y_i] = 0$ , $\operatorname{Var}(Y_i) = 1$ , và $Z_n = \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n Y_i$ . Gọi $\varphi_Y(t) = \mathbb{E}[e^{itY_1}]$ là hàm đặc trưng của $Y_1$ . Vì $\mathbb{E}[Y_1^2] = 1 < \infty$ , khai triển Taylor bậc hai tại $t = 0$ cho $\varphi_Y(t) = 1 - \frac{t^2}{2} + o(t^2)$ khi $t \to 0$ . Do tính độc lập, hàm đặc trưng của $Z_n$ là $\varphi_{Z_n}(t) = \left[\varphi_Y\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)\right]^n = \left(1 - \frac{t^2}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right)\right)^n \to e^{-t^2/2}$ khi $n \to \infty$ với mỗi $t \in \mathbb{R}$ cố định. Vì $e^{-t^2/2}$ là hàm đặc trưng của $\mathcal{N}(0,1)$ , định lý liên tục Lévy suy ra $Z_n \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1)$ .

Chủ đề chứa định lý này

Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm

Định lý liên quan

Luật số lớn yếu Luật số lớn mạnh Luật bán nguyệt Wigner

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Abraham de Moivre (1738). The Doctrine of Chances · DOI:10.1016/b978-044450871-3/50088-7
Pierre-Simon Laplace (1812). Théorie analytique des probabilités
Patrick Billingsley (1995). Probability and Measure