MathLabs

第4题

平面上是否存在一个无限点集，使任意三点不共线且任意两点间的距离都是有理数？
第 1/4 步：选择圆上的构造
上一步下一步
cos⁡θ=35,sin⁡θ=45,Pn=(cos⁡(2nθ),sin⁡(2nθ))\cos\theta=\frac35,\qquad \sin\theta=\frac45,\qquad P_n=(\cos(2n\theta),\sin(2n\theta))
详细分析

取满足 cos⁡θ=35\cos\theta=\frac35 的 0<θ<π/20<\theta<\pi/2，于是 sin⁡θ=45\sin\theta=\frac45。对每个整数 nn，在单位圆上取 Pn=(cos⁡(2nθ),sin⁡(2nθ))P_n=(\cos(2n\theta),\sin(2n\theta))。