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第4题

设 a,b,ca,b,c 是满足 a+b+c=1a+b+c=1 的三角形边长,n≥2n\ge2 为整数。证明 an+bnn+bn+cnn+cn+ann<1+21/n2\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<1+\frac{2^{1/n}}2。
第 1/5 步：排列边长并估计最大边
上一步下一步
a≥b≥c,a<b+c,a+b+c=1  ⟹  b≤a<12a\ge b\ge c,\qquad a<b+c,\qquad a+b+c=1\implies b\le a<\frac12
详细分析

重新标记边长使 a≥b≥ca\ge b\ge c。三角不等式给出 a<b+ca<b+c。由于 a+b+c=1a+b+c=1,有 2a<12a<1,所以 b≤a<1/2b\le a<1/2。