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第5题

设 a1a_1、a2a_2、a3a_3、a4a_4 是两两不同的实数,求解下列关于实数 x1x_1、x2x_2、x3x_3、x4x_4 的方程组: ∣a1−a2∣x2+∣a1−a3∣x3+∣a1−a4∣x4=1∣a2−a1∣x1+∣a2−a3∣x3+∣a2−a4∣x4=1∣a3−a1∣x1+∣a3−a2∣x2+∣a3−a4∣x4=1∣a4−a1∣x1+∣a4−a2∣x2+∣a4−a3∣x3=1\begin{aligned} |a_1-a_2|x_2 + |a_1-a_3|x_3 + |a_1-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_2-a_1|x_1 + |a_2-a_3|x_3 + |a_2-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_3-a_1|x_1 + |a_3-a_2|x_2 + |a_3-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_4-a_1|x_1 + |a_4-a_2|x_2 + |a_4-a_3|x_3 &= 1 \end{aligned}
第 1/7 步：固定 aia_i 的一个顺序
上一步下一步
通俗地说

固定顺序不需要额外代价(只是重新命名),但它把每个 ∣ai−aj∣|a_i-a_j| 变成普通的差,这正是线性消元得以进行的原因。

a1>a2>a3>a4a_1>a_2>a_3>a_4
详细分析

该方程组在同时重新标记所有下标时具有对称性,因此可以把 1,2,3,41,2,3,4 重新编号,使 a1>a2>a3>a4a_1>a_2>a_3>a_4。在此顺序下,对任意一对都有 ∣ai−aj∣=amax⁡(i,j)−amin⁡(i,j)|a_i-a_j|=a_{\max(i,j)}-a_{\min(i,j)},从而去掉了方程组中所有的绝对值。