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第4题

证明:在每个四面体中,都存在一个顶点,使得交于该顶点的三条棱的长度恰好能作为一个三角形的三边。
第 1/4 步：标记六条棱并选出最长的一条
上一步下一步
通俗地说

最长棱是唯一可能造成障碍的棱:如果某个顶点处的另外两条棱之和不超过它,该顶点就不合适。但四面体的其他面会强烈约束剩余棱,使这个障碍转移到另一个顶点并在那里消失。

{a,b,c}=edges of one face,{d,e,f}=opposite edges,a=max⁡{a,b,c,d,e,f}\{a,b,c\}=\text{edges of one face},\qquad \{d,e,f\}=\text{opposite edges},\qquad a=\max\{a,b,c,d,e,f\}
面稍微分离的四面体,展示四个顶点以及每个顶点处相交的三条棱
一个三维四面体,各面略微分离,以便看清四个顶点以及每个顶点相连的三条棱。
详细分析

取一个三角形面,把它的三条棱长记为 a,b,ca,b,c。把分别不与 a,b,ca,b,c 相邻的三条棱记为 d,e,fd,e,f。必要时重新标记,使 aa 成为六条棱中的最大者。目标是证明:交于某个顶点的 a,b,fa,b,f,或交于另一个顶点的 a,c,ea,c,e,至少有一组满足三个严格的三角不等式。