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国际数学奥林匹克
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1970年
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第4题
第4题
求所有正整数
n
n
n
，使得集合
{
n
,
n
+
1
,
n
+
2
,
n
+
3
,
n
+
4
,
n
+
5
}
\{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5\}
{
n
,
n
+
1
,
n
+
2
,
n
+
3
,
n
+
4
,
n
+
5
}
能分成两个不相交子集，且两边元素之积相等。
素因子障碍
模$7$的威尔逊定理
第 4/4 步：使用二次剩余
上一步
下一步
通俗地说
总积必须是平方，但其余数是非平方剩余。
P
2
e
q
u
i
v
−
1
e
q
u
i
v
6
p
m
o
d
7
i
s
i
m
p
o
s
s
i
b
l
e
P^2\\equiv-1\\equiv6\\pmod7 is impossible
P
2
e
q
u
i
v
−
1
e
q
u
i
v
6
p
m
o
d
7
i
s
im
p
oss
ib
l
e
详细分析
若两边积为
P
P
P
，总积为
P
2
P^2
P
2
。模
7
7
7
的平方只有
0
,
1
,
2
,
4
0,1,2,4
0
,
1
,
2
,
4
，不含
6
=
−
1
6=-1
6
=
−
1
，矛盾。
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