第4题

证明:不存在从非负整数集到其自身的函数

f

,使得对每个非负整数

n

都有

f(f(n)) = n + 1987

。

第 4/5 步：两部分恰好划分出 1987 个元素

上一步下一步

通俗地说

第二次迭代恰好漏掉最初的 1987 个非负整数,而 A 与 B 把这些漏掉的元素分成两层。

A\cap B=\varnothing,\qquad A\cup B=\mathbb N_0\setminus f(f(\mathbb N_0))=\{0,1,\ldots,1986\}

详细分析

$A$ 与 $B$ 不相交: $A$ 在 $f(\mathbb N_0)$ 外,而 $B\subseteq f(\mathbb N_0)$ 。它们的并集是 $f(f(\mathbb N_0))$ 的补集,因为 $A$ 是 $f(\mathbb N_0)$ 的补集,而 $B$ 是 $f(\mathbb N_0)$ 中不属于 $f(f(\mathbb N_0))$ 的部分。由函数方程 $f(f(\mathbb N_0))=\{n+1987:n\ge0\}=\{1987,1988,\ldots\}$ ,故并集为 $\{0,1,\ldots,1986\}$ ,含 $1987$ 个元素。