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第4题

设凸四边形 ABCDABCD 满足 AB=AD+BCAB=AD+BC。设内部点 PP 到直线 CDCD 的距离为 hh,且 AP=h+ADAP=h+AD、BP=h+BCBP=h+BC。证明 1h≥1AD+1BC\frac1{\sqrt h}\ge\frac1{\sqrt{AD}}+\frac1{\sqrt{BC}}.
第 1/5 步：让前两个圆相切
上一步下一步
通俗地说

距离等式正是三个圆相切的条件。

AB=AD+BCAB=AD+BC
详细分析

作以 AA 为圆心、ADAD 为半径的 ΓA\Gamma_A,以及以 BB 为圆心、BCBC 为半径的 ΓB\Gamma_B。由于 AB=AD+BCAB=AD+BC,两圆在 ABAB 上外切。再作以 PP 为圆心、hh 为半径的 ΓP\Gamma_P;等式 AP=h+ADAP=h+AD、BP=h+BCBP=h+BC 表明它与 ΓA\Gamma_A、ΓB\Gamma_B 都外切。