解法：MRDP定理:丢番图集合恰为递归可枚举集合(1970年)

把图灵1936年关于停机集合 $K$ 不可判定的结果与MRDP定理结合起来:$K$ 是递归可枚举的,因而是丢番图的,所以存在一个固定的多项式 $P$,使得 $e \in K \iff \exists x_1, \ldots, x_n\, P(e, x_1, \ldots, x_n) = 0$。反证法假设存在一个通用算法 $\mathcal{A}$,能对任意多项式方程及其参数的任意取值,判定它是否有整数解。

那么把 $\mathcal{A}$ 应用到每个候选 $e$ 对应的 $P(e, x_1, \ldots, x_n) = 0$ 上,就能对每个 $e$ 判定其是否属于 $K$——这与图灵关于 $K$ 不可判定的定理相矛盾。因此这样的算法 $\mathcal{A}$ 不可能存在:希尔伯特第十问题正是要求恰好这样一种算法,而它有了一个确定的否定答案。

这个定理并不是说每一个具体方程都神秘莫测——线性方程、一元方程,以及(通过哈塞–闵可夫斯基原理)许多二次型仍然完全可判定——它只是说不存在单一的通用方法能够一次性处理所有多项式方程,从而终结了自1900年希尔伯特首次提出以来悬而未决长达七十年的问题。