洛伦兹吸引子的存在性

考察 $\mathbb{R}^3$ 上带有标准参数 $\sigma = 10$、$\beta = 8/3$ 和 $\rho = 28$ 的经典三维洛伦兹常微分方程组 $\dot{x} = \sigma(y - x)$、$\dot{y} = \rho x - y - xz$、$\dot{z} = xy - \beta z$。该流是否拥有一个稳健的奇异双曲奇异吸引子，其动力学在拓扑与统计意义上可由几何洛伦兹吸引子建模（并承载唯一的西奈–吕埃勒–鲍恩物理测度）？

由沃里克·塔克（Warwick Tucker）给出肯定解答（1999年发表于 Comptes Rendus de l'Académie des Sciences，完整论文于2002年发表在 Foundations of Computational Mathematics 上）。由于洛伦兹系统的轨线会任意逼近原点 $(0,0,0)$ 处的鞍点平衡点——该处回归时间发散——单纯的数值积分无法排除稳定周期轨的存在。塔克将原点附近小立方体内的解析正规形理论与横截庞加莱截面 $\Sigma \subset \{z = 27\}$（划分为小矩形网格）上的严格区间算术常微分方程求解器相结合，证明了正向不变捕获区域以及一致扩张不变锥场的存在性。