佐藤–泰特猜想

设 $E$ 是 $\mathbb{Q}$ 上不具复乘法的椭圆曲线。对于每个具有良好约化的素数 $p$，定义 $a_p = p + 1 - \#E(\mathbb{F}_p)$，并设 $\theta_p \in [0, \pi]$ 为满足 $\cos \theta_p = \frac{a_p}{2\sqrt{p}}$ 的唯一角度。当 $p$ 遍取所有具有良好约化的素数时，角度 $\theta_p$ 在 $[0, \pi]$ 上关于佐藤–泰特半圆测度 $\frac{2}{\pi} \sin^2 \theta \, d\theta$ 等分布。

沿着让-皮埃尔·塞尔将等分布性归结为对称幂 $L$-函数 $L(\mathrm{Sym}^n E, s)$ 在直线 $\mathrm{Re}(s) = 1$ 上的解析延拓与非零性的路线，洛朗·克洛泽尔、迈克尔·哈里斯、尼古拉斯·谢泼德-巴伦和理查德·泰勒（2008）证明了全实域上具有非整 $j$-不变量的椭圆曲线情形。2011年，托马斯·巴内特-兰姆、大卫·格拉蒂、迈克尔·哈里斯和理查德·泰勒利用一族卡拉比–丘簇及高维模性提升定理，证明了对所有 $n \ge 1$ 均有 $\mathrm{Sym}^n E$ 的潜在自守性，从而消除了剩余的技术假设，完成了一般证明。