解法：对称幂的潜在自守性证明萨托–泰特猜想(2011年)

对于椭圆曲线 $E/\mathbb{Q}$ 和具有良好约化的素数 $p$，Hasse 定理（1933）给出 Frobenius 迹 $a_p = p+1-\#E(\mathbb{F}_p)$ 的估计 $|a_p|\le 2\sqrt p$，因此存在唯一的角 $\theta_p\in[0,\pi]$ 满足 $a_p = 2\sqrt p\,\cos\theta_p$ ——Frobenius 在 $H^1$ 上的特征值为 $\sqrt p\,e^{\pm i\theta_p}$。“非 CM”这一假设至关重要：对于具有复乘的曲线，其分布被证明是不同的（一致部分与离散部分的混合），因此该猜想精确地针对非 CM 的 $E$ 表述。

大约在 1960 年，佐藤幹夫（数值上）和 John Tate（理论上，通过代数闭链）猜想：$\theta_p$ 关于 $[0,\pi]$ 上的测度 $\frac{2}{\pi}\sin^2\theta\,d\theta$ 是等分布的。这正是 $\mathrm{SU}(2)$ 上 Haar 测度到共轭类的推前——一个“随机矩阵”特征，表明 $\ell$-进表示 $\rho_{E,\ell}:\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\to\mathrm{GL}_2$ 中的 Frobenius 共轭类表现得像紧酉群中的极大随机族。

该陈述是统计性的：它涉及无穷多个单独的数 $a_p$ 的分布，而非其中任何一个。全部困难在于把这个计数性陈述转化为关于函数的解析陈述——这一转化由下一步中的 Serre 判别法完成。