解法：欧拉的度数论证(1736年)

假设有一条恰好经过图中每条边一次的路线。固定一个顶点 $v$,考察路线在行程途中每次经过 $v$ 的情形(即在这次经过中 $v$ 既不是最开始也不是最末尾的顶点)。每一次这样的经过都用一条边到达 $v$,再用另一条边离开 $v$,而由于路线从不重复使用同一条边,$v$ 处的边也绝不会在不同的经过之间被重复使用。

这就把 $v$ 处的边两两配成(到达,离开)对,针对每一次并非整条路线起点或终点的经过。如果 $v$ 从未作为起点或终点,它所有的边都会以这种方式配对,因此 $\deg(v)$ 必为偶数。如果 $v$ 是起点(且不是终点),就会剩下一条没有对应到达的离开边,于是 $\deg(v)$ 为奇数;对称地,如果 $v$ 只是终点,就会剩下一条没有配对的到达边。如果 $v$ 既是起点又是终点(一趟闭合的巡游),剩下的那条离开边与剩下的那条到达边会互相配对,$\deg(v)$ 又重新变为偶数。

由于一条路线只有恰好一个起点和恰好一个终点——它们也可能是同一个顶点——这个配对论证直接表明,图中至多有两个顶点的度数可能是奇数,而如果路线是闭合的,则一个奇数度顶点都不会有。这正是欧拉那条规则背后真正的机制,而不只是一件需要凭信任接受的事实。