化圆为方

只用圆规和无刻度直尺，在有限步骤内作出一个与给定圆面积相等的正方形。

用圆规和直尺化半径为1的圆为方，需要作出长度为 $\sqrt{\pi}$ 的线段，而皮埃尔·万策尔已于1837年证明：以此方式可作图的长度都是通过反复开平方得到的代数数——特别地，其代数次数必为2的幂。费迪南德·冯·林德曼于1882年证明了 $\pi$ 本身是超越数（不是任何有理系数非零多项式的根），这一证明借鉴了夏尔·埃尔米特1873年证明 $e$ 为超越数的方法，从而为此问题画上句号。既然 $\pi$ 是超越数，$\sqrt{\pi}$ 也是超越数，因此圆规直尺作图永远无法得到它。