定理已证明
伯克霍夫遍历定理
命题陈述
设 (X,B,μ,T) 是一个保测系统，其中 μ 是概率测度，f∈L1(μ)。那么时间平均 n1∑k=0n−1f(Tkx) 在 μ-几乎处处的意义下收敛于一个 T-不变函数 f∗，且 ∫f∗dμ=∫fdμ；若 T 是遍历的，则几乎处处有 f∗=∫fdμ。
为什么成立?
只要系统不会分裂成轨道无法在其间混合的碎片，长时间观察单条轨道并沿途取平均，几乎总能得到与在某一瞬间对整个空间取平均相同的结果。一旦系统是遍历的，平均而言，所花的时间就等于所探索的空间。
证明思路
标准证明使用极大遍历定理：对 f∈L1，令 Mf=supn≥1n1∑k=0n−1f∘Tk，通过一个望远镜求和／极大函数论证可证明 ∫{Mf>0}fdμ≥0。在时间平均的 limsup 大于 a 且 liminf 小于 b 的 T-不变集合上，对满足 a>b 的有理数将其应用于 f−a 和 b−f，可知该集合测度为零，从而迫使其几乎处处收敛到某个极限函数 f∗；f∗ 的不变性源于 T 平移在极限中不改变时间平均这一事实，而积分相等则由沿截断论证使用的控制收敛定理得出。