强大数定律

不失一般性，设 $\mu = 0$。令 $Y_n = X_n \mathbf{1}_{\{|X_n| \le n\}}$ 进行截断。由于 $\sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(|X_n| > n) = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(|X_1| > n) \le \mathbb{E}[|X_1|] < \infty$，由博雷尔-坎泰利引理可知 $\mathbb{P}(X_n \ne Y_n \text{ i.o.}) = 0$。由富比尼定理可得 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{Var}(Y_n)}{n^2} \le \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathbb{E}[Y_n^2]}{n^2} \le 2\mathbb{E}[|X_1|] < \infty$。根据柯尔莫哥洛夫收敛判别法（由柯尔莫哥洛夫极大不等式推出），$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{Y_n - \mathbb{E}[Y_n]}{n}$ 几乎必然收敛。再由克罗内克引理得 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (Y_i - \mathbb{E}[Y_i]) \to 0$ 几乎必然成立，且因 $\mathbb{E}[Y_n] \to \mu = 0$，故 $\bar{X}_n \to 0$ 几乎必然成立。